Xét tổng:
\(1.3.5+3.5.7+...+\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)=\sum\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)\)
\(=\sum\left(4n^2-1\right)\left(2n+3\right)=\sum\left(8n^3+12n^2-2n-3\right)\)
\(=8\sum n^3+12\sum n^2-2\sum n-\sum3\)
\(=\frac{8n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\frac{12n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}-\frac{2n\left(n+1\right)}{2}-3n\)
\(=2n^2\left(n+1\right)^2+2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)-n\left(n+1\right)-3n\)
\(=n\left[2n\left(n+1\right)^2+2\left(n+1\right)\left(2n+1\right)-n-4\right]⋮n\) \(\forall n\in Z^+\)
Thay \(n=50\) vào biểu thức trên ta được:
\(B=1.3.5+3.5.7+...+99.101.103⋮50\Rightarrow B⋮5\)
Mà ta có:
\(B=1.3.5+3.5.7+5.7.9+7.9.11+9.11.13+95.97.99+97.99.101+99.101.103+A\)
Do \(B⋮5\) và \(1.3.5+3.5.7+95.97.99⋮5\)
Nên A có chia hết cho 5 hay ko phụ thuộc vào tổng:
\(C=7.9.11+9.11.13+97.99.101+99.101.103\)
\(C=7.99+13.99+99.97.101+99.101.103\)
\(C=99\left(7+13+97.101+101.103\right)\)
\(C=99\left(20+101.200\right)⋮5\)
Vậy \(A⋮5\)
Làm theo kiểu tổng quát nên hơi trâu bò @@
Nguyễn Thị Hoài Thu : nếu bạn học đồng dư rồi thì chắc sẽ hiểu cách này.
Ta thấy:
\(11.13.15+13.15.17+15.17.19+17.19.21+19.21.23\equiv 1.3.5+3.5.7+5.7.9+7.9.1+9.1.3\pmod 5\)
\(21.23.25+.....+29.31.33\equiv 1.3.5+3.5.7+5.7.9+7.9.1+9.1.3\pmod 5\)
.......................
\(81.83.85+.....+89.91.93\equiv1.3.5+3.5.7+5.7.9+7.9.1+9.1.3\pmod 5\)
\(91.93.95+93.95.97\equiv 0\pmod 5\)
Cộng lại:
\(A\equiv 8(1.3.5+3.5.7+5.7.9+7.9.1+9.1.3)\pmod 5\)
\(\equiv 8(7.9.1+9.1.3)\equiv 720\equiv 0\pmod 5\)
Vậy $A$ chia hết cho $5$
Gợi ý cách giải:
- Chứng minh các số hạng có trong A đều chia hết cho 5
HD: A = 11.13.15+13.15.17+.......+91.93.95+93.95.97
= (11.13.15)+(13.15.17)+.......+(91.93.95)+(93.95.97)
Có: 11.13.15 = 11.13.5.3 chia hết cho 5 (có thừa số 5)
...............Làm tương tự vs những sô còn lại .......................................
=> A chia hết cho 5
