Question

cho x.y.z>0 và xy+yz+xz=5

Tìm GTNN của \(A=3x^2+3y^2+z^2\)

Answer 1

Điểm rơi : \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=1\\z=2\end{matrix}\right.\)

\(A=3x^2+3y^2+z^2\)

\(2A=6x^2+6y^2+2z^2\)

\(2A=\left(z^2+4x^2\right)+\left(z^2+4y^2\right)+\left(2x^2+2y^2\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

\(2A\ge2\sqrt{4x^2z^2}+2\sqrt{4y^2z^2}+2\sqrt{4x^2y^2}\)

\(=4xz+4yz+4xy=4\left(xy+yz+xz\right)=20\)

\(\Rightarrow2A\ge20\)

\(\Rightarrow A\ge10\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=1\\z=2\end{matrix}\right.\)

Answer 2

cách 2: (ko nhân thêm 2:v)

\(A=2x^2+\frac{1}{2}z^2+2y^2+\frac{1}{2}z^2+\left(x^2+y^2\right)\)

\(\ge2\sqrt{2x^2.\frac{1}{2}z^2}+2\sqrt{2y^2.\frac{1}{2}z^2}+2\sqrt{x^2y^2}\)

\(=2\left(xy+yz+zx\right)=10\)

đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z=2