Ta có: \(\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
\(\Leftrightarrow\) \(x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)
\(\Leftrightarrow\) \(x-y-z+2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz\left(1\right)\)
*TH1: \(x-y-z\ne0\)
(1) \(\Leftrightarrow\) \(4\sqrt{3}=\frac{4yz-12-\left(x-y-z\right)^2}{x-y-z}\) (vô lý vì \(4\sqrt{3}\) là số vô tỉ, \(\frac{4yz-12-\left(x-y-z\right)^2}{x-y-z}\) là số hữu tỉ)
*TH2: \(x-y-z=0\)\(\Leftrightarrow\) x=y+z
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\) 4yz=12 \(\Leftrightarrow\) yz = 3
Do y,z là các số nguyên dương nên \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=1\\z=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=3\\z=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
suy ra x=4
Vậy các nghiệm (x,y,z) nguyên của phương trình là (4;1;3), (4;3;1)
