Bài 1:
Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, chứng minh rằng: \(2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge5\)
Bài 2:
Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, z = max {x, y, z), chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge4\)
Bài 3:
Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0 và x + y + z = 2,chứng minh rằng: \(\frac{x}{\sqrt{4x+3yz}}+\frac{y}{\sqrt{4y+3xz}}+\frac{z}{\sqrt{4z+3xy}}\)
Bài 4:
Với x, y, z là các số thực dương, chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{a^2+15bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+15ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+15ab}}\)
Ai nhanh và đúng, mình sẽ đánh dấu và thêm bạn bè nhé. Thanks. Làm ơn giúp mình!!! PLEASE!!!
Bài 3 thì \(\le1\)
Bài 4 thì \(\ge\frac{3}{4}\) nhé
Bài 4:
Đặt: \(A=\frac{a}{\sqrt{a^2+15bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+15ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+15ab}}\)
Và: \(B=a\left(a^2+15bc\right)+b\left(b^2+15ca\right)+c\left(c^2+15ab\right)\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(A^2.B\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow A^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+45abc}\)
Ta chứng minh được: \(\frac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+45abc}\ge\frac{9}{16}\)
\(\Leftrightarrow16\left[a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]\ge9\left(a^3+b^3+c^3+45abc\right)\)
\(\Leftrightarrow7\left(a^3+b^3+c^3\right)+48\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge405abc\)
\(\text{Vế trái}\) \(\ge21abc+384abc\)
\(\Rightarrow\) \(\text{Vế trái}\) \(\ge3abc\left(7+16.8\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\text{Vế trái}\) \(\ge9abc.45\)
\(\Rightarrow\) \(\text{Đpcm}\)
