Question

Cho các số x, y\(\ne\)0. CMR: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\)

Answer 1

Lời giải:

BĐT đã cho tương đương với:
\((\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+2-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2-3t\geq 0\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0(*)\) ( $t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$)

Ta thấy: \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}\).

Nếu $xy>0$: \(t=\frac{(x-y)^2}{xy}+2\geq 2\)

\(\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\Rightarrow (*)\) đúng

Nếu $xy< 0$: \(t=\frac{(x+y)^2}{xy}-2\leq -2\)

\(\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\Rightarrow (*)\) đúng.

Vậy $(*)$ luôn đúng, ta có đpcm.