Bạn ghi sai đề à? Số đầu tiên phải là \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}\) chứ sao là \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\), mặc dù đề như vậy làm vẫn được nhưng chắc chẳng ai cho dãy quy luật kiểu đó
\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=2\left(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\right)\)
\(\Rightarrow A>2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
Ta chứng minh \(2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\Leftrightarrow2\sqrt{n+1}>\sqrt{n}+2\)
\(\Leftrightarrow4\left(n+1\right)>n+4+4\sqrt{n}\Leftrightarrow3n>4\sqrt{n}\Leftrightarrow\sqrt{n}>\dfrac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow n>\dfrac{16}{9}\) (đúng với mọi \(n\ge2\) )
Vậy \(A>\sqrt{n}\)
- Ta chứng minh tiếp \(A< 2\sqrt{n}\)
\(A=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=1+\dfrac{2}{2\sqrt{2}}+...+\dfrac{2}{2\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{n}-1\right)=2\sqrt{n}-1< 2\sqrt{n}\) (đpcm)
Vậy: \(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)
