Question

cho (d):y=(m-2)x+2

a,tìm m để khoảng cách từ gốc O đến (d) bằng 1

b,tìm m để khoảng cách từ gốc O đến (d) lớn nhất

Answer 1

a) Gọi giao điểm của d và Ox là \(A\)

Giao điểm của d và Oy là \(B\)

Tọa độ điểm \(A\) là : \(\left\{{}\begin{matrix}y=\left(m-2\right)x+2\\y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)x+2=0\\y=0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-2}{m-2}\\y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{2-m}\\y=0\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm \(B\) là : \(\left\{{}\begin{matrix}y=\left(m-2\right)x+2\\x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OA=\sqrt{\left(\dfrac{2}{2-m}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\dfrac{2}{2-m}\)

\(\Rightarrow OB=\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=2\)

Từ O kẻ \(OH\perp AB\Rightarrow OH=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\left(\text{Hệ }thức\text{ }lượng\text{ }trong\text{ }\Delta\text{ }vuông\right)\\ \Rightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{2-m}\right)^2}=\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}\\ \Rightarrow\dfrac{\left(2-m\right)^2}{4}=\dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow\left(2-m\right)^2=3\\\Rightarrow\left(2-m\right)^2-3=0\\\Rightarrow\left(2-m+\sqrt{3}\right)\left(2-m-\sqrt{3}\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2-m+\sqrt{3}=0\\2-m-\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

b) Gọi M là trung điểm AB

Ta có : \(OH\le OM=\dfrac{1}{2}AB\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\Rightarrow OH\equiv OM\\ \Rightarrow H\equiv M\)

=> H là trung điểm AB

Answer 2

b) Trong \(\Delta\) AOB có : \(OH\perp AB\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\\ =\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{2-m}\right)^2}+\dfrac{1}{2^2}\\ =\dfrac{\left(2-m\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{\left(2-m\right)^2+1}{4}\\ \Rightarrow OH^2=\dfrac{4}{\left(2-m\right)^2+1}\\ \Rightarrow OH=\dfrac{2}{\sqrt{\left(2-m\right)^2+1}}\)

\(Do\text{ }\left(2-m\right)^2\ge0\forall m\\ \Rightarrow\left(2-m\right)^2+1\ge1\forall m\\ \Rightarrow\sqrt{\left(2-m\right)^2+1}\ge1\forall m\\ \Rightarrow OH=\dfrac{2}{\sqrt{\left(2-m\right)^2+1}}\le2\forall m\)

Dấu \("="\) xảy ra khi :\(2-m=0\\ \Leftrightarrow m=2\)

\(\Rightarrow H\equiv B;A\text{ không tồn tại}\)

Vậy \(OH_{Max}=2\) khi \(m=2;H\equiv B;A\text{ không tồn tại}\)