Bài 2: Hàm số bậc nhất.

1. Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức 

\(y=ax+b\)

trong đó \(a,b\) là các số cho trước và \(a\ne0\).

Ví dụ: \(y=2x-1;y=1-\dfrac{3}{2}x;y=\dfrac{\sqrt{5}}{2}x-2\);... là các hàm số bậc nhất.

\(y=2x^2-3;y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x};y=\sqrt{3-2x};y=-\sqrt{3};...\) không là hàm số bậc nhất.

Ví dụ: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\left(3a-2\right)x+1\). Để \(f\left(x\right)\) là hàm số bậc nhất thì \(3a-2\ne0\Leftrightarrow a\ne\dfrac{2}{3}\).

2. Tính chất

Xét hàm số \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\):

Hàm số trên xác định với mọi \(x\in R\).

Lấy \(x_1,x_2\in R\) sao cho \(x_1< x_2\).

a) Với \(a>0\): ta có: \(x_1< x_2\Rightarrow ax_1< ax_2\Rightarrow ax_1+b< ax_2+b\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\)

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến.

b) Với \(a< 0\): ta có: \(x_1< x_2\Rightarrow ax_1>ax_2\Rightarrow ax_1+b>ax_2+b\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\)

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến.

Một cách tổng quát:

Hàm số \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\) xác định với mọi \(x\in R\) và có tính chất sau:

• Đồng biến trên \(R\) khi \(a>0\)
• Nghịch biến trên \(R\) khi \(a< 0\)

Ví dụ 1: Hàm số \(y=\left(3-\sqrt{2}\right)x+1\) đồng biến trên \(R\) vì \(3-\sqrt{2}>0\); Hàm số \(y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{4}{5}\) nghịch biến vì \(-\dfrac{1}{2}< 0\).

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y=\left(m^2-1\right)x+2m-3\). Tìm \(m\) để 

a) Hàm số là hàm số bậc nhất.

b) Hàm số đồng biến.

c) Hàm số nghịch biến.

Lời giải:

a) Hàm số là hàm số bậc nhất \(\Leftrightarrow m^2-1\ne0\Leftrightarrow m^2\ne1\Leftrightarrow m\ne\pm1\).

b) Hàm số đồng biến \(\Leftrightarrow m^2-1>0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\m+1>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\m+1< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m>-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\).

c) Hàm số nghịch biến \(\Leftrightarrow m^2-1< 0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\m+1< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\m+1>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\left(L\right)\\\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m>-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow-1< m< 1\).