Question

có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(sin^24x-3\left(m-2\right)sin4x+2m^2-6m=0\) có nghiệm?

Answer 1

Đặt \(sin4x=t\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow t^2-3\left(m-2\right)t+2m^2-6m=0\) (1)

Pt đã cho có nghiệm khi (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[-1;1\right]\)

\(\Delta=9\left(m-2\right)^2-4\left(2m^2-6m\right)=\left(m-6\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1=\frac{3\left(m-2\right)+m-6}{2}=2m-6\\t_2=\frac{3\left(m-2\right)-\left(m-6\right)}{2}=m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le\frac{2m-6}{2}\le1\\-1\le m\le1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\le m\le4\\-1\le m\le1\end{matrix}\right.\)

Có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn