Câu 1 : Tìm GTNN của hàm số \(y=cos2x+2sin^3x\) trên \(\left[0;\Pi\right]\)
A. 1 B. \(\frac{2}{3}\) C. 0 D. \(\frac{19}{27}\)
Câu 2 : Tìm m sao cho GTLN của hàm số \(y=x^3-3x+2m-1\) trên đoạn [0;2] bằng 5
A. 2 B. 3 C. 4 D. -2
Câu 3 : Tìm m sao cho GTLN của hàm số \(y=\frac{2x-m}{x-3}\) trên đoạn [0;2] bằng 3
A. m = 9 B. m = 7 C. m = 6 D. m = 1
Câu 4 : Cho các số thực dương x , y thỏa mãn xy + y = 2 . Tìm GTNN của biểu thức P = x + y2
A. 1 B. 2 C. \(\frac{3}{2}\) D. \(\frac{5}{2}\)
1.
\(y'=-2sin2x+6sin^2x.cosx=-2sin2x+3sinx.sin2x\)
\(y'=0\Leftrightarrow sin2x\left(3sinx-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin2x=0\\sinx=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{k\pi}{2}\\x=arcsin\left(\frac{2}{3}\right)+k2\pi\\x=\pi-arcsin\left(\frac{2}{3}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{0;\frac{\pi}{2};arsin\left(\frac{2}{3}\right);\pi-arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\right\}\)
\(y\left(0\right)=1\) ; \(y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\) ; \(y\left(arsin\left(\frac{2}{3}\right)\right)=y\left(\pi-arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\right)=\frac{19}{27}\)
\(\Rightarrow y_{min}=\frac{19}{27}\)
2.
\(y'=3x^2-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Hàm đồng biến trên \(\left(1;2\right)\) và nghịch biến trên \(\left(0;1\right)\)
\(\Rightarrow x=1\) là điểm cực tiểu
\(\Rightarrow y_{max}=max\left\{y\left(0\right);y\left(2\right)\right\}\)
\(y\left(0\right)=2m-1\) ; \(y\left(2\right)=2m+1>2m-1\)
\(\Rightarrow y_{max}=2m+1\Rightarrow2m+1=5\)
\(\Rightarrow m=2\)
3.
\(y'=\frac{m-6}{\left(x-3\right)^2}\)
Hàm đã cho xác định liên tục trên \(\left[0;2\right]\)
Hàm bậc nhất trên bậc nhất nên đơn điệu trên mọi khoảng xác định
- Nếu \(m>6\Rightarrow\) hàm đồng biến
\(\Rightarrow y_{max}=y\left(2\right)=\frac{4-m}{-1}=3\Rightarrow m=7\) (thỏa mãn)
- Nếu \(m< 6\Rightarrow\) hàm nghịch biến
\(\Rightarrow y_{max}=y\left(0\right)=\frac{m}{3}=3\Rightarrow m=9>6\left(ktm\right)\)
- Nếu \(m=6\Rightarrow y=2\) ; \(\forall x\Rightarrow y_{max}=2\ne3\left(ktm\right)\)
Vậy \(m=7\)
4.
\(xy+y=2\Leftrightarrow xy=2-y\Rightarrow x=\frac{2-y}{y}=\frac{2}{y}-1\)
\(\Rightarrow P=x+y^2=y^2+\frac{2}{y}-1\)
\(\Rightarrow P=y^2+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}-1\ge3\sqrt[3]{\frac{y^2}{y.y}}-1=2\)
\(\Rightarrow P_{min}=2\) khi \(x=y=1\)
