Question

\(\Delta ABC;\widehat{BAC}=90^o\); \(\widehat{ABI}=\widehat{IBC};ID\perp BC\left(D\in BC\right)\); DI cắt BA tại E. Chứng minh:

a) \(\Delta ABI=\Delta DBI\)

b) \(\Delta ABD\) cân và BI là đường trung trực của AD.

c) ID < IE và IE = IC

d) \(\Delta ABC\) cần thêm điều kiện gì thì I cách đều ba đỉnh \(\Delta BEC\)

Answer 1

a/ Xét 2 tam giác vuông ΔABI và ΔDBI có:

Cạnh huyền BI chung

\(\widehat{ABI}=\widehat{IBC}\left(GT\right)\)

=> ΔABI = ΔDBI (c.h - g.n)

b/ Có: ΔABI = ΔDBI (cmt)

=> AB = BD (2 cạnh tương ứng)

=> ΔABD cân tại B

Ta có: \(\widehat{ABI}=\widehat{IBC}\left(GT\right)\)

=> BI là phân giác của \(\widehat{ABC}\)

Hay: BI là phân giác của \(\widehat{ABD}\)

Lại có: ΔABD cân tại B (cmt)

=> BI là đường trung trực của ΔABD

Hay: BI là đường trung trực của AD

c/ Ta có: ΔABI = ΔDBI (cmt)

=> AI = ID (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAIE và ΔDIC ta có:

\(\widehat{IAE}=\widehat{IDC}\left(=90^0\right)\)

AI = ID (cmt)

\(\widehat{AIE}=\widehat{DIC}\) (đối đỉnh)

=> ΔAIE = ΔDIC (g - c - g)

=> IE = IC (2 cạnh tương ứng)

ΔIDC vuông tại D

=> ID < IC (cạnh huyền > cạnh góc vuông)

Mà: IE = IC (cmt)

=> ID < IC