a) Xét ΔADB vuông tại A và ΔHDB vuông tại H có
BD chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), H∈BC)
Do đó: ΔADB=ΔHDB(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒AD=HD(hai cạnh tương ứng)
b) Ta có: ΔADB=ΔHDB(cmt)
⇒BA=BH(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔADK vuông tại A và ΔHDC vuông tại H có
DA=DH(cmt)
\(\widehat{ADK}=\widehat{HDC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔADK=ΔHDC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒AK=HC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: BA+AK=BK(A nằm giữa B và K)
BH+HC=BC(H nằm giữa B và C)
mà BA=BH(cmt)
và AK=HC(cmt)
nên BK=BC
⇒B nằm trên đường trung trực của KC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: ΔADK=ΔHDC(cmt)
⇒DK=DC(hai cạnh tương ứng)
⇒D nằm trên đường trung trực của KC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của KC
hay BD⊥KC(đpcm)
c) Xét ΔDKC có DK=DC(cmt)
nên ΔDKC cân tại D(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{DKC}=\widehat{DCK}\)(hai góc ở đáy)
d) Ta có: AD+AK>KD(bất đẳng thức trong ΔADK)
mà KD+CD>KC(bất đẳng thức trong ΔDKC)
và KD=CD(cmt)
nên 2(AD+AK)>KC(đpcm)
