\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
Mà \(MN\) là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN//BC\)
\(\Rightarrow MN\perp\left(SAB\right)\)
b/ \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\) AN là hình chiếu của SN lên (ABC)
\(\Rightarrow\widehat{SNA}\) là góc giữa SN và (ABC)
\(AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\Rightarrow AN=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{SNA}=\frac{SA}{AN}=2\sqrt{2}\Rightarrow\widehat{SNA}\approx70^032'\)
c/ Gọi P là trung điểm BC \(\Rightarrow NP//AB\Rightarrow AB//\left(SNP\right)\)
\(\Rightarrow d\left(SN;AB\right)=d\left(AB;\left(SNP\right)\right)=d\left(A;\left(SNP\right)\right)\)
Qua A kẻ đường thẳng song song BC cắt NP kéo dài tại Q \(\Rightarrow ABPQ\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow NP\perp\left(SAQ\right)\)
Từ A kẻ \(AH\perp SQ\Rightarrow AH\perp\left(SNP\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SNP\right)\right)\)
\(AQ=BP=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}\)
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AQ^2}+\frac{1}{SA^2}\Rightarrow AH=\frac{SA.AQ}{\sqrt{SA^2+AQ^2}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)
