\(\hat{SC;\left(ABCD\right)}=\hat{CS;CA}=\hat{SCA}\)
=>\(\hat{SCA}=60^0\)
ΔABC vuông tại B
=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)
=>\(AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\)
Xét ΔSAC vuông tại A có tan SCA\(=\frac{SA}{AC}\)
=>\(\frac{SA}{a\sqrt2}=\tan60=\sqrt3\)
=>\(SA=a\sqrt6\)
ΔSAC vuông tại A
=>\(SA^2+AC^2=SC^2\)
=>\(SC^2=\left(a\sqrt6\right)^2+\left(a\sqrt2\right)^2=6a^2+2a^2=8a^2\)
=>\(SC=\sqrt{8a^2}=2a\cdot\sqrt2\)
Gọi M là trung điểm của AD
=>\(MA=MD=\frac{AD}{2}=a\)
Xét tứ giác AMCB có
AM//CB
AM=CB
Do đó: AMCB là hình bình hành
Hình bình hành AMCB có AM=AB(=a)
nên AMCB là hình thoi
=>MC=AB=a
Xét ΔACD có
CM là đường trung tuyến
CM=AD/2
Do đó: ΔCAD vuông tại C
=>CA⊥CD
SA⊥(ABCD)
=>SA⊥CA
DC⊥CA
DC⊥SA
=>DC⊥(SAC)
=>D là hình chiếu của C xuống mp(SAC)
\(\hat{SD;\left(SAC\right)}=\hat{SD;SC}=\hat{CSD}\)
ΔSAD vuông tại A
=>\(AD^2+AS^2=SD^2\)
=>\(SD^2=\left(2a\right)^2+\left(a\sqrt6\right)^2=10a^2\)
=>\(SD=a\sqrt{10}\)
ΔCAD vuông tại C
=>\(CA^2+CD^2=AD^2\)
=>\(CD^2=AD^2-CA^2=\left(2a\right)^2-\left(a\sqrt2\right)^2=4a^2-2a^2=2a^2\)
=>\(CD=a\sqrt2\)
Xét ΔSCD có \(SC^2+CD^2=SD^2\)
nên ΔSCD vuông tại C
Xét ΔSCD vuông tại C có sin CSD=\(\frac{CD}{DS}=\frac{a\sqrt2}{a\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt5}\)
nên \(\hat{CSD}\) ≃27 độ
=>\(\hat{SD;\left(SAC\right)}\) ≃27 độ
