Phân thức đại số

Câu hỏi của Uyên Nguyễn - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Rút gọn A

x^3+1 =(x+1)(x^2 -x +1)

MCS=(x^3 +1)

Tử số

x^2 -1 -(x^2 -x+1) -3x =-2(x+1)

điều kiện x khác -1

\(A=\dfrac{-2}{x^2-x+1}\)

\(\dfrac{2}{A}=-\left(x^2-x+1\right)=-\dfrac{3}{4}-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le-\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge-\dfrac{8}{3}\) khi x=1/2

Ta có:

\(1+a^2+a^4=\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\)

Từ đây thì ta có:

\(A=\dfrac{1}{1+1^2+1^4}+\dfrac{2}{1+2^2+2^4}+...++\dfrac{2013}{1+2013^2+2013^4}\)

\(\Leftrightarrow2A=\dfrac{2}{\left(1^2-1+1\right)\left(1^2+1+1\right)}+\dfrac{4}{\left(2^2-2+1\right)\left(2^2+2+1\right)}+...+\dfrac{4026}{\left(2013^2-2013+1\right)\left(2013^2+2013+1\right)}\)

\(=\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{4}{3.7}+...+\dfrac{4026}{4050157.4054183}\)

\(=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{4050157}-\dfrac{1}{4054183}=1-\dfrac{1}{4054183}=\dfrac{4054182}{4054183}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{2027091}{4054183}\)

Vì \(0< a,b,c< 1\) nên

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2< a\\b^2< b\\c^2< c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< a+b+c=2\)

Ta có:

\(2xy\le x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2.7=14\)

Dấu = xảy ra khi .....

V=Sđ . h= 1/2.3.4.7=42 cm³

Điều kiện x > 0

Ta có:

\(x=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}\)

\(\Leftrightarrow1=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)+\dfrac{1}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\)

Áp dụng bunhia ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)+\dfrac{1}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\le\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+1-\dfrac{1}{x}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+1-\dfrac{1}{x^2}\right)}=1\)

Dấu = xảy ra khi

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}.\dfrac{1}{x}=\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}.\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}\)

\(\Leftrightarrow x^3-x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)

2x²+y²+12x-4y+22=0

\(\Leftrightarrow\)2x²+12x+18+y²-4y+4=0

\(\Leftrightarrow\)2(x+3)²+(y-2)²=0

Vì 2(x+3)²\(\ge\)0 và (y-2)²\(\ge\)0

nên 2(x+3)²=0 và (y-2)²=0

giải ra x=-3 và y=2

\(\Rightarrow\)xy=(-3).2=-6

\(A=x^2-4xy+4y^2+y^2-2y+1+1\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x-2y\right)^2+\left(y-1\right)^2+1>0\)

Vậy biểu thức A luôn dương với mọi x,y

Vơi mọi a, b ta luôn có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng hai vế, ta được đpcm. Dấu '=' xảy ra khi a = b = 1

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{cases} a \leq \dfrac{a^{2}+1}{2}\\ b \leq \dfrac{b^{2}+1}{2} \end{cases}\) (BĐT này đúng với mọi a,b)

Cộng hai vế này với nhau ta được:

\(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\)\(\leq\) \(\dfrac{\dfrac{a^2+1}{2}}{a^2+1}+\dfrac{\dfrac{b^2+1}{2}}{b^2+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\) \(\leq\) 1

Dấu'=' xảy ra khi a=b=1