Phân thức đại số

a) Ta có: $x^2+y^2$

$=(x^2+2xy+y^2)-2xy$

$=(x+y)^2-2xy$

$=8^2-2\cdot15$ (vì $x+y=8;xy=15$)

$=34$

b) Có: $x+y=8$

$\Rightarrow(x+y)^3=8^3$

$\Rightarrow x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=512$

$\Rightarrow x^3+y^3+3xy(x+y)=512$

$\Rightarrow x^3+y^3+3\cdot15\cdot8=512$ (vì $xy=15;x+y=8$)

$\Rightarrow x^3+y^3+360=512$

$\Rightarrow x^3+y^3=152$

c) Ta có: \(xy=15\Rightarrow x=\dfrac{15}{y}\)

Thay $x=\dfrac{15}{y}$ vào $x+y=8$, ta được:

$\dfrac{15}{y}+y=8$

$\Rightarrow\dfrac{y^2+15}{y}=8$

$\Rightarrow y^2+15=8y$

$\Rightarrow y^2-8y+15=0$

$\Rightarrow y^2-3y-5y+15=0$

$\Rightarrow y(y-3)-5(y-3)=0$

$\Rightarrow (y-3)(y-5)=0$

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y-3=0\\y-5=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=3\\y=5\end{matrix}\right.\)

+) TH1: $y=3\Rightarrow x=\dfrac{15}{3}=5$

Khi đó: $x^2-y^2=5^2-3^2=16$

+) TH2: $y=5\Rightarrow x=\dfrac{15}{5}=3$

Khi đó: $x^2-y^2=3^2-5^2=-16$

$\text{#}Toru$

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

D là trung điểm của BA

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//AC và \(ED=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: ED//AC

F\(\in\)ED

Do đó: EF//AC

Ta có: ED//AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: ED\(\perp\)AB

=>EF\(\perp\)AB

Ta có: \(ED=\dfrac{AC}{2}\)

\(ED=\dfrac{EF}{2}\)

Do đó: AC=EF

Xét tứ giác AEBF có

D là trung điểm chung của AB và EF

=>AEBF là hình bình hành

Hình bình hành AEBF có AB\(\perp\)EF

nên AEBF là hình thoi

b: Xét tứ giác ECAF có

FE//AC

FE=AC

Do đó: ECAF là hình bình hành

c: ta có: ECAF là hình bình hành

=>EA cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của EA

nên M là trung điểm của FC

=>C,M,F thẳng hàng

d: Ta có: \(DF=\dfrac{EF}{2}\)

\(CN=\dfrac{CA}{2}\)

mà EF=CA

nên DF=CN

Xét tứ giác DFNC có

DF//NC

DF=NC

Do đó: DFNC là hình bình hành

=>DN cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của CF

nên M là trung điểm của DN

Xét tứ giác ADEN có

M là trung điểm chung của AE và DN

=>ADEN là hình bình hành

Hình bình hành ADEN có \(\widehat{DAN}=90^0\)

nên ADEN là hình chữ nhật

e: Khi BEAF là hình vuông thì \(\widehat{AEB}=90^0\)

=>AE\(\perp\)EB tại E

=>AE\(\perp\)BC tại E

Xét ΔABC có

AE là đường cao

AE là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ΔABC vuông cân tại A

=>Điều này đúng

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên AE là phân giác của góc BAC

Hình chữ nhật ADEN có AE là phân giác của góc DAN

nên ADEN là hình vuông

.

Bài 2:

a. $x^3+3xy^2+y^3+3x^2y=250+262$

$\Leftrightarrow (x+y)^3=512=8^3$

$\Leftrightarrow x+y=8$

b. 

$x^3+3xy^2=14$

$y^3+3x^2y=13$

$\Rightarrow x^3+3xy^2-y^3-3x^2y=14-13$

$\Leftrightarrow x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=1$

$\Leftrightarrow (x-y)^3=1$

$\Leftrightarrow x-y=1$

Bài 1:

a. $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=8^2-2.15=34$

b. $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=8^3-3.15.8=152$

c. $|x^2-y^2|=|x-y||x+y|=8|x-y|=8\sqrt{(x-y)^2}=8\sqrt{(x+y)^2-4xy}$

$=8\sqrt{8^2-4.15}=16$

$\Rightarrow x^2-y^2=16$ hoặc $x^2-y^2=-16$

Câu 2:

A(3;-3); B(3;3); C(1,5;1,5); D(-2;3); E(-2,5;-3)

Câu 3:

a: Khi \(x_1=1\) thì \(y_1=-2\cdot1+1=-2+1=-1\)

Khi \(x_2=-1\) thì \(y_2=-2\cdot\left(-1\right)+1=2+1=3\)

Khi \(x_3=0\) thì \(y_3=-2\cdot0+1=1\)

b: 

Bài 8:

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;2;-2\right\}\)

\(A=\left(\dfrac{x^2}{x^3-4x}+\dfrac{6}{6-3x}+\dfrac{1}{x+2}\right):\left(x-2+\dfrac{10-x^2}{x+2}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x^2}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{6}{3\left(x-2\right)}+\dfrac{1}{x+2}\right):\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)+10-x^2}{x+2}\)

\(=\left(\dfrac{x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{x+2}\right)\cdot\dfrac{x+2}{x^2-4+10-x^2}\)

\(=\dfrac{x-2\left(x+2\right)+x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{x+2}{6}\)

\(=\dfrac{2x-2-2x-4}{\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{-1}{x-2}\)

b: |x|=1/2

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi x=1/2 thì \(A=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{2}-2}=-1:\dfrac{-3}{2}=\dfrac{2}{3}\)

Khi x=-1/2 thì \(A=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}-2}=-1:\dfrac{-5}{2}=\dfrac{2}{5}\)

c: A=2

=>\(\dfrac{-1}{x-2}=2\)

=>\(x-2=-\dfrac{1}{2}\)

=>\(x=\dfrac{3}{2}\left(nhận\right)\)

d: A<0

=>\(-\dfrac{1}{x-2}< 0\)

=>x-2>0

=>x>2

e: Để A nguyên thì \(-1⋮x-2\)

=>\(x-2\in\left\{1;-1\right\}\)

=>\(x\in\left\{3;1\right\}\)

\(\dfrac{x}{y}=10\)

=>\(x=10\cdot y=10y\)

\(M=\dfrac{16x^2-40xy}{8x^2-24xy}\)

\(=\dfrac{8x\cdot2x-8x\cdot5y}{8x\cdot x-8x\cdot3y}\)

\(=\dfrac{8x\left(2x-5y\right)}{8x\left(x-3y\right)}=\dfrac{2x-5y}{x-3y}\)

\(=\dfrac{2\cdot10y-5y}{10y-3y}=\dfrac{20-5}{10-3}=\dfrac{15}{7}\)

Bài 1:

a: \(\dfrac{x^2+y^2-1-2xy}{x^2-y^2+1-2x}\)

\(=\dfrac{\left(x^2-2xy+y^2\right)-1}{\left(x^2-2x+1\right)-y^2}\)

\(=\dfrac{\left(x-y\right)^2-1}{\left(x-1\right)^2-y^2}\)

\(=\dfrac{\left(x-y-1\right)\left(x-y+1\right)}{\left(x-1-y\right)\left(x-1+y\right)}\)

\(=\dfrac{x-y+1}{x+y-1}\)

b: \(\left(a-3\right)\left(a^2+3a+9\right)\)

\(=\left(a-3\right)\left(a^2+a\cdot3+3^2\right)\)

\(=a^3-3^3=a^3-27\)

c: \(5x^3+4x^2-3x\left(2x^2+7x-1\right)\)

\(=5x^3+4x^2-6x^3-21x^2+3x\)

\(=-x^2-17x^2+3x\)

d: \(\dfrac{14xy^5\left(3y-2x\right)}{21x^2y\left(2x-3y\right)^2}\)

\(=\dfrac{7xy\cdot\left(3y-2x\right)\cdot2y^4}{7xy\cdot\left(3y-2x\right)^2\cdot3x}\)

\(=\dfrac{2y^4}{3x\left(3y-2x\right)}\)

e: Sửa đề:\(\dfrac{x^3-x^2-x+1}{x^2-2x+1}\)

\(=\dfrac{\left(x^3-x^2\right)-\left(x-1\right)}{\left(x^2-2x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)}{\left(x^2-2x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)}{\left(x^2-2x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}\)

\(=x+1\)

Bài 2:

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{1;-1\right\}\)

\(A=\left(\dfrac{x+1}{2x-2}+\dfrac{3}{x^2-1}-\dfrac{x+3}{2x+2}\right)\cdot\dfrac{4x^2-4}{5}\)

\(=\left(\dfrac{x+1}{2\left(x-1\right)}+\dfrac{3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{x+3}{2\left(x+1\right)}\right)\cdot\dfrac{4\left(x^2-1\right)}{5}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)^2+3\cdot2-\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\dfrac{4\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\)

\(=\dfrac{x^2+2x+1+6-\left(x^2+2x-3\right)}{1}\cdot\dfrac{2}{5}\)

\(=\dfrac{x^2+2x+7-x^2-2x+3}{1}\cdot\dfrac{2}{5}\)

\(=10\cdot\dfrac{2}{5}=4\)

b: ĐKXĐ: \(y\notin\left\{1;-1\right\}\)

\(B=\dfrac{3}{3y+3}+\dfrac{10}{5-5y}+\dfrac{5y-1}{y^2-1}\)

\(=\dfrac{3}{3\left(y+1\right)}-\dfrac{10}{5\left(y-1\right)}+\dfrac{5y-1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{y+1}-\dfrac{2}{y-1}+\dfrac{5y-1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\dfrac{y-1-2\left(y+1\right)+5y-1}{\left(y+1\right)\left(y-1\right)}\)

\(=\dfrac{6y-2-2y-2}{\left(y+1\right)\left(y-1\right)}=\dfrac{4y-4}{\left(y+1\right)\left(y-1\right)}=\dfrac{4}{y+1}\)

c: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3}\right\}\)

\(\dfrac{1}{3x-2}-\dfrac{4}{3x+2}-\dfrac{3x-6}{4-9x^2}\)

\(=\dfrac{1}{3x-2}-\dfrac{4}{3x+2}+\dfrac{3x-6}{9x^2-4}\)

\(=\dfrac{1}{3x-2}-\dfrac{4}{3x+2}+\dfrac{3x-6}{\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)}\)

\(=\dfrac{3x+2-4\left(3x-2\right)+3x-6}{\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)}\)

\(=\dfrac{6x-4-12x+8}{\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)}=\dfrac{-6x+4}{\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)}=-\dfrac{2}{3x+2}\)

16:

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{2;-2\right\}\)

\(A=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{4}{x+2}-\dfrac{x-6}{4-x^2}\)

\(=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{x-6}{x^2-4}\)

\(=\dfrac{x+2-4\left(x-2\right)+x-6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{2x-4-4x+8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{-2x+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=-\dfrac{2}{x+2}\)

b: Khi x=1/2 thì \(A=\dfrac{-2}{\dfrac{1}{2}+2}=-2:\dfrac{5}{2}=-\dfrac{4}{5}\)

Khi x=2 thì A không có giá trị vì x=2 không thỏa mãn ĐKXĐ