Phân thức đại số

Ta có tổng quát: \(\left(ax^2+bx+c\right)\)\(\left(mx^2+nx+p\right)\)\(\circledast\)

-Nhân ra ta được: \(amx^4+\left(an+bm\right)x^3+\left(ap+bn+cm\right)x^2+\left(bp+cn\right)x+cp\)

-Áp dụng phương pháp hệ số bất định, ta có:

am=1

an+bm=4 (1)

ap+bn+cm=6 (2)

bp+cn=4 (3)

cp=5

-Xét a=m=1 và c=1, p=5

thay vào (1), ta được: n+b=4 (4)

thay vào (3), ta được: n+5b=4 (5)

từ (4),(5)\(\Rightarrow\)n=4 và b=0

giờ thay tất cả vào phương trình (3), ta được: 5+0+1=6 (T/M)

\(\Rightarrow\)Thay vào\(\circledast\), ta được: \(\left(x^2+1\right)\left(x^2+4x+5\right)\)

Cách 2: Ta tách \(6x^2\) thành \(5x^2+x^2\)

ta được: \(x^4+4x^3+5x^2+x^2+4x+5\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2+4x+5\right)+\left(x^2+4x+5\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2+4x+5\right)\)

Câu 10

Ta có: \(x^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2-6\ge-6\)

Dấu " = " khi \(x^2=0\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-6\right)^2\ge36\)

\(\Rightarrow A=\left(x^2-6\right)^2-12\ge24\)

Vậy \(MIN_A=24\) khi x = 0

Gọi O là giao điểm của BD và AC

Đặt BO=x,CO=y,BC=z

Vì O là giao điểm hai đường chéo hình thoi

\(\Rightarrow\) BO=\(\dfrac{1}{2}BD\) , CO=\(\dfrac{1}{2}AC\)

Hay x=\(\dfrac{1}{2}BD\) , y=\(\dfrac{1}{2}AC\)

Ta có: S_ABCD=\(\dfrac{BD.AC}{2}\)=\(\dfrac{2x.2y}{2}\)=2xy

Hay 2xy= 162,24cm²

Ta có BD+AC=36,4cm

hay 2x+2y=36,4cm

\(\Rightarrow\) x+y=\(\dfrac{36,4}{2}=18,2cm\)

\(\Rightarrow\) (x+y)²=18,2.18,2=331,24cm²

\(\Rightarrow\) x²+2xy+y²= 331,24cm²

hay x²+y²+ 162,24cm²=331,24cm²

\(\Rightarrow\) x²+y²= 331,24cm²-162,24cm²=169cm²

Ta có BD\(\perp\)AC (AC,BD là đường chéo của hình thoi ABCD)

\(\Rightarrow\) BO\(\perp\)OC

\(\Rightarrow\) \(\bigtriangleup\)BOC vuông tại O

Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông BOC ta có:

BO²+OC²=BC²

hay x²+y²=BC²

\(\Rightarrow\) BC²=x²+y²=169cm²

\(\Rightarrow\) BC=\(\sqrt{169cm^2}\) =13cm

Mà các cạnh của hình thoi luôn bằng nhau,từ đó suy ra:

Cạnh của hình thoi dài 13cm.

Câu 6) ĐKXĐ: \(x\ne-\dfrac{1}{10}\)\(\dfrac{6x-5}{10x+1}=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{49.51}\Leftrightarrow\dfrac{6x-5}{10x+1}=\dfrac{1}{2}.\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{51}\right)\Leftrightarrow\dfrac{6x-5}{10x+1}=\dfrac{1}{2}.\left(1-\dfrac{1}{51}\right)\Leftrightarrow\dfrac{6x-5}{10x+1}=\dfrac{25}{51}\Leftrightarrow x=5\left(TM\right)\)

\(\sum\limits^{2016}_{x=1}\left(\dfrac{x^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right)\)

dùng cô si nhé, bài này dễ mà :)

có

\(b^2+c^2\ge2bc\\ =>\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\le\dfrac{a^2}{2\sqrt{b^2c^2}}\\ < =>\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\le\dfrac{a^2}{2bc}\)

cmtt

\(=>\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{c^2+a^2}\le\dfrac{b^2}{2ac}\\\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{c^2}{2ab}\end{matrix}\right.\)

có

\(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}\\ < =>\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\left(đpcm\right)\)

đơn giản thế thôi, chúc may mắn :)

Đặt \(M=\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\)

Xét \(M\times\dfrac{c}{a-b}=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\right)=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)-c\left(b-a\right)}{ab}\right)=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{\left(b-a\right)\left(a+b-c\right)}{ab}\right)\)

Vì \(a+b+c=0\Leftrightarrow a+b=-c\Leftrightarrow a+b-c=-2c\)

\(\Rightarrow M\times\dfrac{c}{a-b}=1+\dfrac{c}{a-b}\times\dfrac{\left(a-b\right)2c}{ab}=1+\dfrac{2c^2}{ac}=1+\dfrac{2c^3}{abc}\)

Tương tự \(M\times\dfrac{a}{b-c}=1+\dfrac{2a^3}{abc}\)

\(M\times\dfrac{b}{c-a}=1+\dfrac{2b^3}{abc}\)

\(\Rightarrow A=3+\dfrac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\)

Mà do \(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Rightarrow A=9\)

Cách làm mới cũng khá chính xác, nhớ tick mình nha .
Vì a+b+c=0 nên (a+b)(b+c)(c+a)=-abc
Áp dụng bất hằng đẳng thức\(a^2\left(c-b\right)+b^2\left(a-c\right)+c^2\left(b-c\right)=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right) \)

\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-2abc\)

Ta có A=\(A=\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\left(\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}\right)\)

\(A=\left(\dfrac{\left(a-b\right)ab+\left(b-c\right)bc+\left(c-a\right)ac}{abc}\right)\left(\dfrac{\left(b-c\right)\left(c-a\right)c+\left(a-b\right)\left(c-a\right)a+\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)\)

\(A=(\dfrac{-[a^2\left(c-b\right)+b^2\left(a-b\right)+c^2\left(b-c\right)]}{abc})\left(\dfrac{a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)-5abc-a^3-b^3-c^3}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)\)

A=\(=\left(\dfrac{-1}{abc}\right)\left(-9abc\right)=9\)

Pt đã cho được viết lại thành:
\(\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(4x^2-4x\right)-40=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(4x^2-4x+1\right)-41=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(2x-1\right)^2=41\)
Vì x,y nguyên nên \(\left(x+y\right)^2;\left(2x-1\right)^2\) là các số chính phương.
Và \(\left(2x-1\right)^2\) là số chính phương lẻ.
Mà \(41=25+16=\left(\pm5\right)^2+\left(\pm4\right)^2\)
Xét các TH:
• TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\2x-1=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\)

• TH2:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\2x-1=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=6\end{matrix}\right.\)

• TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-4\\2x-1=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-7\\x=3\end{matrix}\right.\)

• TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-4\\2x-1=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy các cặp số (x;y) cần tìm là ( -2;-2 ) ; ( 3;-7) ; (3;1) ; (-2;6)