Chương I - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAKC vuông tại K có KF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AF\cdot AC=AK^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có KA là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(KB\cdot KC=AK^2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra \(AF\cdot AC=KB\cdot KC\)

b: Xét tứ giác AEKF có 

\(\widehat{FAE}=\widehat{AFK}=\widehat{AEK}=90^0\)

Do đó: AEKF là hình chữ nhật

Suy ra: \(AK=EF\left(3\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAKB vuông tại K có KE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AE\cdot AB=AK^2\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\) suy ra \(EF^2=AE\cdot AB\)

c: Ta có: \(AE\cdot AB+AF\cdot AC+KB\cdot KC\)

\(=AH^2+AH^2+AH^2\)

\(=3\cdot EF^2\)

1: Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{FAE}=\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

Ta có:

7.5^2=4.5^2+6^2

→BC2=AB2+AC2

→ΔABC vuông tại A

Ta có BD là phân giác góc B→DA/DC=BA/BC=35

→DA/DA+DC=3/3+5

→AD/AC=38

→AD=3/8AC=94

b: MD*MC=MH*DC=2*a

a: Xet ΔBEC vuông tại B và ΔCFD vuông tại C có

BE=CF

BC=CD

=>ΔBEC=ΔCFD

=>góc BEC=góc CFD

=>góc CFD+góc FCM=90 độ

=>CE vuông góc BD

Xét ΔDMC vuông tại D và ΔCBE vuông tại B có

góc MCD=góc BEC

=>ΔDMC đồng dạng với ΔCBE

\(S_{CBE}=\dfrac{1}{2}\cdot S_{BAC}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABCD}\)

ΔDMC đồng dạng với ΔCBE

=>\(\dfrac{S_{DMC}}{S_{CBE}}=\left(\dfrac{DC}{CE}\right)^2=\left(\dfrac{2\cdot BE}{\sqrt{\left(2\cdot BE\right)^2+BE^2}}\right)^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\dfrac{4}{5}\)

=>\(S_{DMC}=\dfrac{4}{5}\cdot S_{CBE}=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABCD}=\dfrac{1}{5}\cdot S_{ABCD}\)

a: \(AB^2=HB^2+HA^2\)

\(BM\cdot BA=BH^2\)

\(AM\cdot AB=AH^2\)

\(BH\cdot HA=HM\cdot BA\)

\(HM^2=MA\cdot MB\)

c: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBHA vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền BA, ta được:

\(BM\cdot BA=BH^2\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(BN\cdot BC=BH^2\)

Xét tứ giác BNHM có 

\(\widehat{NBM}=\widehat{BNH}=\widehat{BMH}=90^0\)

Do đó: BNHM là hình chữ nhật

Suy ra: BH=NM

Ta có: \(BM\cdot BA+BN\cdot BC\)

\(=BH^2+BH^2\)

\(=2\cdot NM^2\)

Bạn tự vẽ hình nha.

a) \(sinA=\dfrac{BH}{AB},cosA=\dfrac{AH}{AB},tanA=\dfrac{BH}{AH},cotA=\dfrac{AH}{BH}\\sin \widehat{ABH}=\dfrac{AH}{AB},cos\widehat{ABH}=\dfrac{BH}{AB},tan\widehat{ABH}=\dfrac{AH}{BH},cot\widehat{ABH}=\dfrac{BH}{AH}\)

b)Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác BHC vuông tại H, ta được:

\(CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{900-576}=18\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta được:

\(AC=\dfrac{BC^2}{HC}=\dfrac{900}{18}=50\left(cm\right)\)

\(AB=\dfrac{BH\cdot AC}{BC}=\dfrac{24\cdot50}{30}=40\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB^2}{AC}=\dfrac{400}{50}=8\)(cm)

c) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta được:

BN.BC=\(BH^2\)

BM.BA=\(BH^2\)

Suy ra, BN.BC+BM.BA=2\(BH^2\)

Xét tứ giác BMHN có:

góc BMH = góc MBN = góc HNB = \(90^0\)

nên tứ giác BMHN là hình chữ nhật.

suy ra BH = MN .

Suy ra, BN.BC+BM.BA = 2.\(MN^2\)(đpcm)

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc AC cắt CD kéo dài tại E

\(\Rightarrow AE||BD\) (cùng vuông góc AC )

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABDE là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)

\(\Rightarrow AB=DE\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACE với đường cao AD:

\(AD^2=DE.DC=AB.DC\)

\(\Rightarrow AD=\sqrt{AB.DC}\) (đpcm)

b.

Ta có:

\(AD=\sqrt{AB.CD}=\sqrt{9.16}=12\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\left(AB+CD\right).AD=150\)