Chương 4: GIỚI HẠN

Giới hạn này thiếu x tiến tới bao nhiêu nên ko tính được

Đặt \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(1\right)=-2< 0\)

\(f\left(2\right)=13>0\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1;2)

\(f\left(-2\right)=13>0\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2;1)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt

\(f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{\sqrt{1-x}-x-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{1+2x}-\left(x+1\right)}{\sqrt{1-x}-x-1}+\dfrac{\left(x+1\right)-\sqrt[3]{1+3x}}{\sqrt{1-x}-x-1}\)

\(=\dfrac{\left(1+2x-x^2-2x-1\right)\left(\sqrt{1-x}+x+1\right)}{\left(1-x-x^2-2x-1\right)\left(\sqrt{1+2x}+x+1\right)}+\dfrac{\left(x^3+3x^2+3x+1-1-3x\right)\left(\sqrt{1-x}+x+1\right)}{\left(1-x-x^2-2x-1\right)\left[\left(x+1\right)^2+\sqrt[3]{\left(1+3x\right)^2}+\left(x+1\right)\sqrt[3]{1+3x}\right]}\)

\(=\dfrac{x^2\left(\sqrt{1-x}+x+1\right)}{\left(x^2+3x\right)\left(\sqrt{1+2x}+x+1\right)}-\dfrac{\left(x^3+3x^2\right)\left(\sqrt{1-x}+x+1\right)}{\left(x^2+3x\right)\left[\left(x+1\right)^2+\sqrt[3]{\left(1+3x\right)^2}+\left(x+1\right)\sqrt[3]{1+3x}\right]}\)

\(=\dfrac{x\left(\sqrt{1-x}+x+1\right)}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{1+2x}+x+1\right)}-\dfrac{\left(x+3\right)\left(\sqrt{1-x}+x+1\right)}{\left(x+1\right)^2+\sqrt[3]{\left(1+3x\right)^2}+\left(x+1\right)\sqrt[3]{1+3x}}\)

Khi đó:

\(A=\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=-\dfrac{3.2}{1+1+1}=-2\)

C

u2 = 2013

Tìm 2 giá trị của x để hàm \(f\left(x\right)\) nhận kết quả trái dấu là được.

a.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\) (chọn \(x=0\) do nó làm triệt tiêu tham số m, thường sẽ ưu tiên chọn những giá trị x kiểu thế này. Ở câu này, có đúng 1 giá trị x khiến m triệt tiêu nên phải chọn thêm)

\(f\left(-1\right)=m^2-1+6-1=m^2+4>0\) với mọi m (để ý rằng ta đã có \(f\left(0\right)\) âm nên cần chọn x sao cho \(f\left(x\right)\) dương, mà \(-m^2\) nên ta nên chọn x sao cho nó chuyển dấu thành \(m^2\))

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc  \(\left(-1;0\right)\) với mọi m

Hay với mọi m thì pt luôn luôn có nghiệm

b.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}x+x-4\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-4< 0\) 

(Tới đây, nếu ta chọn tiếp \(x=3\) để triệt tiêu m thì cho \(f\left(3\right)=-1\) vẫn âm, ko giải quyết được vấn đề, nên ta phải chọn 1 giá trị khác. Thường trong những trường hợp xuất hiện \(m^2\) thế này, cố gắng chọn x sao cho hệ số của \(m^2\) dương (nếu cần \(f\left(x\right)\) dương, còn cần \(f\left(x\right)\) âm thì chọn x sao cho hệ số \(m^2\) âm). Ở đây dễ nhất là chọn \(x=2\) , vì khi đó \(\left(3-2\right)^{2021}=1\) vừa đảm bảo hệ số \(m^2\) dương vừa dễ tính toán, nếu chọn \(x=1\) cũng được thôi nhưng quá to sẽ rất khó biến đổi)

\(f\left(2\right)=\left(m^2+m+5\right).\left(3-2\right)^{2021}.2+2-4=2\left(m^2+m+5\right)-2\)

 \(=2m^2+2m+8=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{2}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0;\forall m\Rightarrow\) hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;2\right)\) với mọi m

Hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Dạ em cảm ơn thầy nhiều ạ!

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2-\sqrt[]{2x-1}\sqrt[3]{5x+3}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2-2\sqrt[]{2x-1}+2\sqrt[]{2x-1}-\sqrt[]{2x-1}.\sqrt[3]{5x+3}}{x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2\left(1-\sqrt[]{2x-1}\right)+\sqrt[]{2x-1}\left(2-\sqrt[3]{5x+3}\right)}{x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-\dfrac{4\left(x-1\right)}{1+\sqrt[]{2x-1}}-\dfrac{5\sqrt[]{2x-1}\left(x-1\right)}{4+2\sqrt[3]{5x+3}+\sqrt[3]{\left(5x+3\right)^2}}}{x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(-\dfrac{4}{1+\sqrt[]{2x-1}}-\dfrac{5\sqrt[]{2x-1}}{4+2\sqrt[3]{5x+3}+\sqrt[3]{\left(5x+3\right)^2}}\right)\)

\(=-\dfrac{4}{1+1}-\dfrac{5\sqrt[]{1}}{4+4+4}=-\dfrac{29}{12}\)

Nếu đề là \(f\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x+1}\) và \(g\left(x\right)=4x^2-5x^2+1\left(???\right)\) thì cả \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) đều liên tục trên R