Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Lời giải:

Để hàm số đồng biến trên R thì:

\(y'=(m+2)x^2+2mx+1\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\)

Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2 thì điều này xảy ra khi :

\(\left\{\begin{matrix} m+2> 0\\ \Delta'=m^2-m-2\leq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m> -2\\ (m+1)(m-2)\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m> -2\\ -1\leq m\leq 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow -1\leq m\leq 2\)

Đáp án B

Lời giải:

Ta có:

\(y=mx^3-2x^2+3mx+2016\)

\(\Rightarrow y'=3mx^2-4x+3m\)

Để hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định \(y'\leq 0\) thì trước tiên cần có \(m\leq 0\) (1)

Với \(m\leq 0\), áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2 ta có:

\(y'\leq 0\Leftrightarrow \Delta'=4-9m^2\leq 0\)

\(\Leftrightarrow \) \(\left[{}\begin{matrix}m\le\dfrac{-2}{3}\\m\ge\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) (2)

Từ \((1);(2)\Rightarrow m\leq \frac{-2}{3}\) thì hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(2x+m-\left(x+\frac{3}{x}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x(m-1)-3=0\)

Để hai đths cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì pt trên phải có hai nghiệm phân biệt.

\(\Rightarrow \Delta=(m-1)^2+3>0\) (luôn đúng với mọi m)

Khi đó, gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của pt thì theo hệ thức Viete:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=1-m\\ x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Hai giao điểm là \(M(x_1,2x_1+m); N(x_2,2x_2+m)\)

\(MN=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(2x_1+m-2x_2-m)^2}=\sqrt{5(x_1-x_2)^2}\)

Có \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(m-1)^2+12\geq 12\)

\(\Rightarrow MN\geq \sqrt{60}\) hay \(MN_{\min}=\sqrt{60}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(m=1\)

Câu 11:

Ta có:

\(y=x^3-3(m+1)x^2+2(m^2+4m+1)x-4m(m+1)\)

\(=x^2(x-2)-3mx(x-2)-x(x-2)+2m(x-2)+2m^2(x-2)\)

\(\Leftrightarrow y=(x-2)[x^2-x(3m+1)+2m^2+2m]\)

Ta thấy, pt \(y=0\) có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu điểm là giao của $y$ với trục hoành.

Thấy \(x=2\) là một nghiệm của pt thỏa mãn lớn hơn 1. Vậy ta cần pt \(x^2-x(3m+1)+2m^2+2m=0\) có hai nghiệm phân biệt khác $2$ và lớn hơn 1

Trước tiên, để pt trên có hai nghiệm phân biệt khác $2$ thì:

\(\left\{\begin{matrix} 2^2-2(3m+1)+2m^2+2m\neq 0\\ \Delta=(3m+1)^2-4(2m^2+2m)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(m-1)^2\neq 0\\ (m-1)^2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\neq 1(1)\)

Theo định lý Viete, giả sử $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt trên thì \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=3m+1\\ x_1x_2=2m^2+2m\end{matrix}\right.\)

Để pt có hai nghiệm lớn hơn 1 thì: \(\left\{\begin{matrix} (x_1-1)(x_2-1)>0\\ x_1+x_2>2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m^2+2m-(3m+1)+1>0\\ 3m+1>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m^2-m=m(2m-1)>0\\ m>\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>1\) hoặc \(\frac{1}{3}< m< \frac{1}{2}\)

Ta có:

Ta thấy, pt  có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu điểm là giao của  với trục hoành.

Thấy  là một nghiệm của pt thỏa mãn lớn hơn 1. Vậy ta cần pt  có hai nghiệm phân biệt khác  và lớn hơn 1

chữ nhỏ quá

Lời giải:

Đề bài không chuẩn nhé. " Tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất" chứ không phải "tiếp tuyến tại điểm có hệ số bé nhất"

Ta có: \(y=x^3 -3x^2 +6x-4\Rightarrow y'=3x^2-6x+6\)

Gọi hoành độ tiếp điểm là $a$

Khi đó, hệ số góc của tiếp tuyến là \(f'(a)=3a^2-6a+6=3(a-1)^2+3\)

Ta thấy \((a-1)^2\geq 0\forall a\in\mathbb{R}\Rightarrow f'(a)\geq 3\) hay \(f'(a)_{\min}=3\)

Vậy giá trị hệ số góc nhỏ nhất bằng $3$ khi \(a=1\)

Khi đó, pt tiếp tuyến có dạng là:

\(y=f'(a)(x-a)+f(a)=3(x-1)+1^3-3.1^2+6.1-4\)

\(\Leftrightarrow y=3x-3\)

Đáp án C

Câu 23:

Từ điều kiện đề bài ta có:

\(P=\frac{a^2+9}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2+9}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2+9}{2c^2+(a+b)^2}=\frac{a^2+9}{2a^2+(3-a)^2}+\frac{b^2+9}{2b^2+(3-b)^2}+\frac{c^2+9}{2c^2+(3-c)^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{1}{3}\left(\frac{a^2+9}{a^2-2a+3}+\frac{b^2+9}{b^2-2b+3}+\frac{c^2+9}{c^2-2c+3}\right)\)

Ta sẽ cm bất đẳng thức phụ sau đây:

\(\frac{a^2+9}{a^2-2a+3}\leq 2a+3\) (1)

Thật vậy, BĐT trên tương đương với: \(a^2+9\leq (2a+3)(a^2-2a+3)\)

Sau khi thực hiện khai triển và nhóm:

\(\Leftrightarrow 4(a-1)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Vậy ta có (1). Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thì:

\(\frac{a^2+9}{a^2-2a+3}+\frac{b^2+9}{b^2-2b+3}+\frac{c^2+9}{c^2-2c+3}\leq 2(a+b+c)+9=15\)

\(\Rightarrow P\leq \frac{1}{3}.15=5\)

Vậy max P=5. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Câu 24:

Có \(y=\frac{x-2}{x-3}\Rightarrow y'=\frac{-1}{(x-3)^2}\)

Gọi hoành độ tiếp điểm là \(a\), khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là:

\(\frac{-1}{(a-3)^2}\). Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng

\(y=-x+6\Rightarrow \frac{-1}{(a-3)^2}=-1\Leftrightarrow (a-3)^2=1\)

\(\Rightarrow a=2 \) hoặc \(a=4\)

Khi đó pt tiếp tuyến là: \(y=-(x-a)+\frac{a-2}{a-3}\)

Với a=4 thì \(y=-x+6\) (bị trùng- loại)

Với \(a=2\Rightarrow y=-x+2\)

Đáp án D

Lời giải:

Ta có: \(y=x^4-2(m+1)x^2+2m+1\)

\(\Leftrightarrow y=(x^4-1)-2(m+1)x^2+2(m+1)\)

\(y=(x^2-1)(x^2-2m-1)\)

Xét PT \(y=0\) ta thấy pt đã có nghiệm \(x=\pm 1\). Do đó để đths cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì pt \(x^2-2m-1=0\) phải có thêm 2 nghiệm khác $\pm 1$ nữa

Do đó: \(\left\{\begin{matrix} 2m+1>0\\ (\pm 1)^2-2m-1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>\frac{-1}{2}\\ m\neq 0\end{matrix}\right.\)

Ta xét 2 TH sau:

TH1: \(2m+1>1\Rightarrow \sqrt{2m+1}>1;-\sqrt{2m+1}< -1\)

Hoành độ 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự lần lượt là:
\(-\sqrt{2m+1};-1;1;\sqrt{2m+1}\)

Ta có: \(AB=BC\Leftrightarrow |-\sqrt{2m+1}+1|=|-1-1|=2\)

Từ đây dễ dàng tìm được \(m=4\) (thỏa mãn)

TH2: \(0\leq 2m+1< 1\Rightarrow \sqrt{2m+1}< 1;-\sqrt{2m+1}> -1\)

Hoành độ 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự lần lượt là:

\(-1;-\sqrt{2m+1};\sqrt{2m+1};1\)

Ta có \(AB=BC\Leftrightarrow |-1+\sqrt{2m+1}=|-\sqrt{2m+1}-\sqrt{2m+1}|=2\sqrt{2m+1}\)

Từ đây ta dễ dàng tìm được \(m=\frac{-4}{9}\) (thỏa mãn)

Bài 2:

Ta có:

\(y=x^4-(2m+1)x^2+2m=(x^4-x^2)-2mx^2+2m\)

\(\Leftrightarrow y=(x^2-1)(x^2-2m)=(x-1)(x+1)(x^2-2m)\)

Để đths cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì pt \(y=0\) phải có 4 nghiệm phân biệt

Thấy hiển nhiên phương trình có nghiệm \(x=\pm 1< 2\), vậy nên ta cần có \(x^2-2m=0\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(\pm 1\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2m>0\\ (\pm 1)^2-2m\neq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow m>0;m\neq \frac{1}{2}\)

Khi đó hai nghiệm của pt là: \(\pm \sqrt{2m}\) trong đó \(-\sqrt{2m}\) hiển nhiên nhỏ hơn 2, ta chỉ cần \(\sqrt{2m}<2 \Leftrightarrow m< 2\)

Vậy \(0< m< 2; m\neq \frac{1}{2}\)