Bài 6: Ôn tập chương Vecơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian.

a: \(\widehat{\left(SC;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{CS;CA}=\widehat{SCA}\)

Ta có: SA\(\perp\)(ABCD)

=>SA\(\perp\)AC

=>ΔSAC vuông tại A

Vì ABCD là hình vuông

nên \(AC=AD\cdot\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

Xét ΔSAC vuông tại A có \(tanSCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\)

nên \(\widehat{SCA}=60^0\)

=>\(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}=60^0\)

b: Ta có: BD\(\perp\)AC

BD\(\perp\)SA

SA,AC cùng thuộc mp(SAC)

Do đó: BD\(\perp\)(SAC)

\(\widehat{SB;\left(SAC\right)}=\widehat{SB;SD}=\widehat{BSD}\)

Vì ABCD là hình vuông

nên \(AC=BD=a\sqrt{2}\)

ΔSAD vuông tại A

=>\(SA^2+AD^2=SD^2\)

=>\(SD^2=\left(a\sqrt{6}\right)^2+a^2=7a^2\)

=>\(SD=a\sqrt{7}\)

ΔSAB vuông tại A

=>\(SA^2+AB^2=SB^2\)

=>\(SB=a\sqrt{7}\)

Xét ΔSBD có \(cosBSD=\dfrac{SB^2+SD^2-BD^2}{2\cdot SB\cdot SD}\)

\(=\dfrac{7a^2+7a^2-2a^2}{2\cdot a\sqrt{7}\cdot a\sqrt{7}}=\dfrac{6}{7}\)

=>\(sinBSD=\sqrt{1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{7}\)

=>\(\widehat{BSD}\simeq31^0\)

=>\(\widehat{SB;\left(SAC\right)}\simeq31^0\)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SA\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) các tam giác SAB và SAD vuông tại A

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\)

\(\Rightarrow\Delta SBC\) vuông tại B

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp SD\)

\(\Rightarrow\Delta SCD\) vuông tại D

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\\AH\perp SB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC\) (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AK\\AK\perp SD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AK\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AK\perp SC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow SC\perp\left(AHK\right)\)

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SN}=\overrightarrow{AS}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{AS}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{SA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AS}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{CM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CS}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AS}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)

\(AN\perp CM\Rightarrow\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CM}=0\)

\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AS}+2\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{CB}\right)=0\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AS}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)+AS^2-2AC^2+2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS}-2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0\)

\(\Leftrightarrow AS^2-2AC^2-2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2a^2-2a^2.cos60^0=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-3a^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=a\sqrt{3}\)

Vậy \(SA=a\sqrt{3}\) thì \(AN\perp CM\)

Chọn B

Chon B

Giúp tớ phần b với. Cảm ơn mọi người nhiều