Bài 5b: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Ta có : \(y'=3x^2-2\left(m-1\right)x+3m+1\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm, ta có : \(x_0=1\Rightarrow y_0=3m+1,y'\left(1\right)=m+6\)

Phương trình tiếp tuyến tại M  : \(y=\left(m+6\right)\left(x-1\right)+3m+1\)

Tiếp tuyến đi qua A \(\Leftrightarrow-1=m+6+3m+1\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm

Ta có : \(y'=\frac{-m-3}{\left(x-1\right)^2}\)

a) Vì \(x_0=0\Rightarrow y_0=-m-1;y'\left(x_0\right)=-m-3\)

Phương trình tiếp tuyến d của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=0\) là :

\(y=\left(-m-3\right)x-m-1\)

Tiếp tuyến đi qua \(A\) khi và chỉ khi \(3=\left(-m-3\right)4-m-1\Leftrightarrow m=-\frac{16}{5}\)

b) Ta có : \(x_0=2\Rightarrow y_0=m+5;y'\left(x_0\right)=-m-3\)

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=2\) là :

\(y=\left(-m-3\right)\left(x-2\right)+m+5=\left(-m-3\right)x+3m+11\)

* \(\Delta\cap Ox=A\Rightarrow A\left(\frac{3m+11}{m+3};0\right)\) với \(m+3\ne0\)

* \(\Delta\cap Oy=B\Rightarrow B\left(0;3m+11\right)\)

Suy ra diện tích tam giác OAB là : \(S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\frac{\left(3m+11\right)^2}{\left|m+3\right|}\)

Theo giả thiết bài toán suy ra \(\frac{1}{2}\frac{\left(3m+11\right)^2}{\left|m+3\right|}=\frac{25}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(3m+11\right)^2=25\left|m+3\right|\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}9m^2+66m+121=25m+75\\9m^2+66m+121=-25m-75\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}9m^2+41m+46=0\\9m^2+91m+196=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=-2;m=-\frac{23}{9}\\m=-7;m=-\frac{28}{9}\end{array}\right.\)

Đồ thị © có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y=2.Giao điểm của hai tiệm cận là I(1;2)
Gọi $M(x_0;\frac{2x_0-3}{x_0-1})\in \copyright$
Tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị © tại M có phương trình
y=$\frac{1}{(x_0-1{)}^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-3}{x_0-1}$
Giao điểm của $\Delta$ với hai tiệm cận của đồ thị © là $A(1;\frac{2x_0-4}{x_0-1})vàB(2x_0-1;2)$
ta có:IA=$|\frac{2x_0-4}{x_0-1}-2|=\frac{2}{|x_0-1|}$
IB=$2|x_0-1|$
Do đó diện tích $△IAB$ là: S=$\frac{1}{2}IAIB=2$
Gọi $p$ là nửa chu vi $△IAB$.Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp $△IAB$ là $r=\frac{S}{p}$=$\frac{2}{p}$
$r$ lớn nhất khi $p$ nhỏ nhất
mặt khác,ta có :$2p=IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}\ge 2\sqrt{IAIB}+\sqrt{2IAIB}=4+2\sqrt{2}$
Suy ra: $p_{min}=2+\sqrt{2}$,dấu bằng xẩy ra $\iff IA=IB\iff \frac{2}{|x_0-1|}=2|x_0-1|\iff [\begin{array}{c}{x}_0=0\\ x_0=2\end{array}$
với $x_0=0$,phương trình tiếp tuyến cần tìm là ${\Delta }_1$:y=x+3
với $x_0=2$,phương trình tiếp tuyến cần tìm là ${\Delta }_2$:y=x-1

Tập xác định : \(D=R\)

Ta có : \(y'=8x^3+6x=2x\left(4x^2+3\right)\)

Gọi tiếp điểm là \(M\left(x_0;y_0\right)\)

Ta có : \(y_0=0\Rightarrow0=2x_0^4+3x_0^2-5\Leftrightarrow x_0^2=1\Leftrightarrow x_0=\pm1\)

* Với \(x_0=1\Rightarrow y'\left(1\right)=14\Rightarrow\Delta:y=14\left(x-1\right)\) hay \(y=14x-14\)

* Với \(x_0=-1\Rightarrow y'\left(1\right)=-14\Rightarrow\Delta:y=-14\left(x+1\right)\) hay \(y=-14x-14\)

b) Nhận thấy \(A\left(0;5\right)\) thuộc đồ thị hàm số do đó nó chính là tiếp điểm 

Vì vậy \(x_0=0;y_0=-5;f'\left(x_0\right)=0\)

Suy ra tiếp tuyến là \(y=-5\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến \(\Delta\) cần tìm

Ta có : \(y'=3x^2-12x+9\Rightarrow y'\left(x_0\right)=3x^2_0-12x_0+9\)

Ta có : \(x_0=1;y_0=2;y'\left(x_0\right)=0\)

Phương trình tiếp tuyến là :  \(y-2=0\left(x-1\right)\) hay y = 2

b) Ta có \(x_0=0\Rightarrow y_0=-2,y'\left(x_0\right)=9\)

Phương trình tiếp tuyến là :\(y+2=9\left(x-0\right)\) hay \(y=9x-2\)

c) Ta có \(x_0=-1\Rightarrow y_0=f\left(x_0\right)=-18;y'\left(x_0\right)=24\)

Phương trình tiếp tuyến là : \(y+18=24\left(x+1\right)\) hay \(y=24x+6\)

d) Ta có : \(y_0=6\Rightarrow x_0^3-6x^2_0+9x_0-2=-2\Leftrightarrow x_0^3-6x^2_0+9x_0=0\)

                                                                      \(\Leftrightarrow x_0=0;x_0=3\)

* \(x_0=-1\) suy ra phương trình tiếp tuyến là : \(y=9x-2\)

* \(x_0=3\Rightarrow y_0=-2,y'\left(x_0\right)=0\), suy ra phương trình tiếp tuyến là : \(y=2\)

Vậy có 2 tiếp tuyến là \(y=9x-2;y=2\)

e) Ta có : \(y'=0\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}\)\(y''=6x-12\)

\(y''\left(1\right)=-6< 0;y"\left(3\right)=6>0\)

Suy ra đồ thị (C) có điểm cực tiểu là \(A\left(3;-2\right)\); điểm cực đại là \(B\left(1;2\right)\)

Giả sử \(M\left(a;a^3-6a^2+9a-2\right),a\ne3;1\)

Phương trình đường thẳng AB : \(2x+y-4=0\)

Ta có : \(S_{SBM}=\frac{1}{2}AB.d\left(M;AB\right)=6\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\sqrt{2^2+\left(-4\right)^2}.\frac{\left|2a+a^3-6a^2+9a-2-4\right|}{\sqrt{2^2+1}}=6\)

\(\Leftrightarrow\left|a^3-6a^2+11a-6\right|=6\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=0\Rightarrow M\left(0;-2\right)\\a=4\Rightarrow M\left(4;2\right)\end{array}\right.\)

* Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(0;-2) là : \(y+2=y'\left(0\right)\left(x-0\right)\) hay \(y=9x-2\)

* Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(4;2) là : \(y-2=y'\left(4\right)\left(x-4\right)\) hay \(y=9x-34\)

Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm \(\left(x_0\ne-1\right)\), phương trình tiếp tuyến là :

\(y=\frac{1}{\left(x_0+1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0+1}{x_0+1}\)

Vì tiếp tuyến cách đều A và b nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song AB.

- Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB ta có \(x_0=1\), vậy phương trình là \(y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\)

- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng AB : \(y=x+2\), ta có :

\(\frac{1}{\left(x_0+1\right)^2}=1;\frac{2x_0+1}{x_0+1}\ne2\Rightarrow x_0=0;x_0=-2\)

Với \(x_0=0\) ta có : \(y=x+1\)

Với \(x_0=-2\) ta có : \(y=x+5\)

Ta có \(M\left(-1;-2\right)\)

Phương trình của (C) tại M là \(\Delta:y=y'\left(-1\right)\left(x+1\right)-2\)

                                     hay \(\Delta:y=9x+7\)

\(\Delta\) // d \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+5=9\\3m+1\ne7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=\pm2\\m\ne2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m=-2\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). Khi đó \(y'\left(x_0\right)=3\)

Ta có phương trình :

                  \(\frac{3}{\left(x_0+2\right)^2}=3\Leftrightarrow\left(x_0+2\right)^2=1\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\x_0=-3\end{cases}\)

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại các điểm (-1;1) và (-3;5) lần lượt là 

\(y=3x+2;y=3x+14\)

Từ giả thiết ta được \(y=3x+2\)

Ta có \(y'=3x^2-6x\)

Gọi \(M\left(x_0;x_0^3-3x^3_0+4\right)\) là điểm thuộc đồ thị (C)

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là \(k=y'\left(x_0\right)=3x_0^2-6x_0\)

Vì tiếp tuyến của đồ thị tại M song song với đường thẳng \(d:y=9x+3\) nên có hệ số góc \(k=9\)

\(\Leftrightarrow3x_0^2-6x_0=9\Leftrightarrow x_0^2-2x_0-3=0\Leftrightarrow x_0=-1\) V \(x_0=3\)

Vậy \(M\left(-1;0\right)\) và \(M\left(3;4\right)\) đều không thuộc d nên thỏa mãn yêu cầu bài toán

Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{1\right\}\)

Ta có \(y'=\frac{-1}{\left(x-1\right)^2}\). 

Gọi \(M\left(x_o;y_0\right)\) là tiếp điểm

a) Ta có \(y_0=0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}\Rightarrow y'\left(x_0\right)=-4\)

Phương trình tiếp tuyến là : \(y=-4x+2\)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) :

\(\frac{2x-1}{x-1}=x+1\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow x=0;x=2\)

* \(x_0=0\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến là : \(y=-x\left(x-0\right)+1=-x+1\)

* \(x_0=2\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến là : \(y=-x+5\)

c) Ta có phương trình của đường thẳng \(\Delta:y-\frac{2x_0-1}{x_0-1}=\frac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)\)

hay \(\Delta:\frac{1}{\left(x_0-1\right)^2}x+y-\frac{x_0}{\left(x_0-1\right)^2}-\frac{2x_0-1}{x_0-1}=0\)

Ta có : \(d\left(I;\Delta\right)=\frac{\left|\frac{2}{x_0-1}\right|}{\sqrt{\frac{1}{\left(x_0-1\right)^4}+1}}\le\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)^4=1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=0\\x_0=2\end{array}\right.\)

Suy ra có 2 tiếp tuyến là : \(\Delta_1:y=-x+1\)

                                      \(\Delta_2:y=-x+5\)

d) Ta có  : \(\Delta Ox=A\left(2x^2_0-2x_0+1;0\right)\)

                \(OA=1\Leftrightarrow\left|2x^2_0-2x_0+1\right|=1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=0\\x_0=1\end{array}\right.\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến là : \(y=-x+1\)