Cho hình bình hành ABCD. Dựng các hình vuông bên ngoài hình bình hành và có các cạnh là cạnh của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng tâm các hình vuông này tạo thành hình chữ nhật.

Gọi O là giao điểm của AA1 và CC1. Ta chứng minh \(\widehat{AOB}+\widehat{AOB_1}=180^o\).

Ta có: \(\Delta C_1BC=\Delta ABA_1\) vì \(C_1B=AB\), BC=BA1, góc C1BC = góc ABA1 (=góc ABC+60độ).

Suy ra \(\widehat{BC_1C}=\widehat{BAA_1}\) suy tiếp \(C_1BOA\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.

\(\Rightarrow\widehat{AC_1B}+\widehat{AOB}=180^o\) \(\Rightarrow\widehat{AOB}=120^o\) và \(\widehat{C_1OB}=\widehat{C_1OA}=60^o\) (cùng chắn hai cung có độ dài bằng nhau).

Tương tự ta có các góc AOB1, B1OC, COA1, A1OB đều bằng 60 độ.

Suy ra \(\widehat{AOB}+\widehat{AOB_1}=180^o\)

Vậy BOB1 thẳng hàng

Kéo dài trung tuyến BE một đoạn ED=EO.

Ta dễ thấy AO=CD=2/3 AM

OD = OB = 2/3 BE

Vậy tam giác OCD có các cạnh lần lượt bằng 2/3 độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Ta lại có các đường trung tuyến chia tam giác ABC thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau. Suy ra:

\(\frac{s\left(ABC\right)}{s\left(ODC\right)}=\frac{6}{2}=3\)

Vậy s(ABC)=3.s(ODC)=3.(2/3)^2 s(MNP)=4/3 s(MNP).

Với MNP là tam giác có các cạnh bằng các trung tuyến của tam giác ABC.

Đáp số: 4/3

\(x^2+y^2=5^2\)

Do \(0\le x,y< 5\) và do tỉ số nghiêng về đội 2 nên x < y. Thử các giá trị x và y ta thấy ngay x = 3, y = 4.

Bạn tham khảo ở đây nhé.

Tam giác có góc B bằng 2 lần góc C thì:

\(b^2=c^2+ca\)

(cách chứng minh bạn xem ở bài dưới đây)

Kẻ phân giác AD cắt BC tại D. Theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{DB}{DC}=\frac{c}{b}\) suy ra \(\frac{DB+DC}{DC}=\frac{c+b}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{DC}=\frac{c+b}{b}\) \(\Rightarrow DC=\frac{ab}{b+c}\)

Tam giác ACD đồng dạng với BCA vì góc C chung và góc CAD = B. Suy ra:

\(\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CA}\) hay là

\(\frac{b}{\frac{ab}{b+c}}=\frac{a}{b}\) \(\Rightarrow a^2b=b^2\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow a=\sqrt{b^2+bc}\)

Gọi khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đưởng thẳng đó là AA1, BB1, CC1, DD1. Ta thấy AA1 = CC1, BB1 = DD1. Do đó \(S=AA_1^2+BB_1^2+CC_1^2+DD_1^2=2\left(AA_1^2+DD_1^2\right)\).

Tam giác vuông \(DD_1O\) bằng tam giác vuông \(OA_1A\) suy ra \(DD_1=OA_1\). Vậy \(S=2\left(AA_1^2+DD_1^2\right)=2\left(AA_1^2+OA_1^2\right)=2OA^2\).

\(S=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}a\right)^2=a^2\)

Giải phương trình : 

                       \(\log_{\sqrt{2}}\left(x-3\right)^2-8\log_2\sqrt{2x-1}=4\)

Chứng minh rằng : \(\cos^2x+\cos^2\left(\frac{\pi}{3}+x\right)+\cos^2\left(\frac{2\pi}{3}+x\right)=\frac{3}{2}\)