Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

Lời giải:

1.

Để ĐTHS có cực đại và cực tiểu thì \(y'=3x^2+2x+m+2=0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta'=1-3(m+2)>0\Leftrightarrow m<\frac{-5}{3}\)

2.

ĐTHS có hai cực trị nằm về hai phía trục tung nghĩa là PT \(y'=3x^2+2x+m+2=0\) có hai nghiệm $x_1,x_2$ trái dấu.

Theo định lý Viete thì \(x_1x_2=\frac{m+2}{3}<0\Leftrightarrow m<-2\)

3. Áp dụng định lý Viete:

Cực trị với hoành độ âm thì: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-2}{3}<0\\ x_1x_2=\frac{m+2}{3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>-2\Rightarrow -2< m<\frac{-5}{3}\)

4. Để ĐTHS có cực tiểu tại $x=2$ thì PT \(y'=3x^2+2x+m+2=0\) nhận $x=2$ là nghiệm \(\Leftrightarrow m=-18\)

Thử lại bằng bảng biến thiên ta thấy đúng.

Lời giải:

Để hàm $y$ luôn có cực trị thì \(y'=x^2-2mx-(2m+3)=0\) phải luôn có hai nghiệm phân biệt.

\(\Leftrightarrow \Delta'=m^2+2m+3>0\Leftrightarrow (m+1)^2+2>0\)

Điều này luôn đúng với mọi số thực $m$ nên ta có đpcm.

Lời giải:

a)

Hàm $y$ đồng biến trên khoảng xác định khi mà

\(y'=3x^2-6(2m+1)x+12m+5\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \Delta'=9(2m+1)^2-3(12m+5)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow -\sqrt{\frac{1}{6}}\leq m\leq \sqrt{\frac{1}{6}}\)

b) Hàm $y$ đồng biến trên TXĐ khi:

\(y'=3mx^2-2(2m-1)x+m-2\geq 0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\)

Để đảm bảo điều trên xảy ra với mọi $x$ thì \(m>0\)

Khi đó \(\Delta'=(2m-1)^2-3m(m-2)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (m+1)^2\leq 0\) (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ thỏa mãn

Lời giải:

Ta có \(y'=-\frac{x^2-2x+4-m}{(1-x)^2}\)

a) Đồ thị có cực đại và cực tiểu khi \(x^2-2x+4-m=0\) có hai nghiệm phân biệt khác $1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta'=1-(4-m)>0\\ 1-2+4-m=3-m\neq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow m>3\)

b) Đạt cực trị tại $x=2$ khi \(x^2-2x+4-m=0\) nhận $x=2$ là nghiệm

\(\Rightarrow m=4\)

c) Đạt cực trị tại $x=-1$ khi \(x^2-2x+4-m=0\) nhận $x=-1$ là nghiệm suy ra $m=7$

Lập bảng biến thiên để thử lại ta có với $m=7$ thì $x=-1$ đúng là điểm cực tiểu.

Lời giải:

Ta có:

Hàm $y$ đồng biến trên khoảng \((1;2)\) khi \(y'=9x^2+2mx+3m-2\geq 0 \forall x\in (1;2)\)

\(\Leftrightarrow m(2x+3)\geq 2-9x^2\Leftrightarrow m\geq \frac{2-9x^2}{2x+3}\) (do \(x\in (1;2)\))

Xét hàm \(f(x)=\frac{2-9x^2}{2x+3}\), đạo hàm và lập bảng biến thiên suy ra \(f(x)_{\max}< f(1)=\frac{-7}{5}\)

\(\Rightarrow m\geq \frac{-7}{5}\) là thỏa mãn.

e là cái gì? tham số hả.

Giải biện luận, hay là sao mập mờ quá

\(A=\dfrac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)=\dfrac{1}{2}\left(e^x-\dfrac{1}{e^x}\right)\)

\(e^x-\dfrac{1}{e^x}=0\)

- nếu e =1 => đúng với x

-nếu e<0..{ phụ thuộc biến x chẵn , lẻ....khó quá}

xét e>0 e khác 1

đặt e^x=y=> y>0

\(y^2-1=0\Rightarrow y=1\)

\(e^x=1\Rightarrow x=0\)

Giải:

Đặt \(2^x=a,3^x=b\)

PT trở thành \(3a^2-2ab=b^2\Leftrightarrow (a-b)(3a+b)=0\)

TH1: \(a=b\Rightarrow 2^x=3^x\). Hiển nhiên \(x=0\)

TH2: \(3a+b=0\Leftrightarrow 3.2^x+3^x=0\)

Điều này vô lý vì t biết rằng với \(a>0\) thì \(a^n>0\forall n\in\mathbb{R}\)

Vậy PT có \(x=0\) là nghiệm

Lời giải:

a)

Để hàm không có cực trị thì \(y'=3x^2-6x+3m=0\) không có nghiệm hoặc có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow \Delta'=9-9m\leq 0\Leftrightarrow m\geq 1\)

b)

Để ĐTHS có điểm cực đại và cực tiểu thì

\(y'=3x^2-6x+3m=0\) phải có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta'=9-9m>0\Leftrightarrow m<1\)