Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Kẻ \(SD\perp AB\), kẻ \(SH\perp CD\), gọi E là giao điểm CD và MN

\(\Rightarrow SH\perp\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SEH}\) là góc giữa (SMN) và (ABC) hay \(\widehat{SEH}=\alpha\)

Đặt \(\left(SA;SB;SC\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}};\dfrac{1}{\sqrt{b}};\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)\) (việc đặt này chỉ để dễ dàng cho tính toán về sau)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{SH^2}=\dfrac{1}{SD^2}+\dfrac{1}{SC^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{SB^2}+\dfrac{1}{SC^2}=a+b+c\)

\(\Rightarrow SH=\dfrac{1}{\sqrt{a+b+c}}\)

Do MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow E\) là trung điểm CD hay SE là trung tuyến trong tam giác vuông SCD

\(\Rightarrow SE=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}\sqrt{SC^2+SD^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{SC^2+\dfrac{SA^2.SB^2}{SA^2+SB^2}}\)

\(=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a+b}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{a+b+c}{c\left(a+b\right)}}\)

\(\Rightarrow sin\alpha=\dfrac{SH}{SE}=\dfrac{2\sqrt{c\left(a+b\right)}}{a+b+c}\)

Tương tự: \(sin\beta=\dfrac{2\sqrt{b\left(a+c\right)}}{a+b+c}\) ; \(sin\gamma=\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{2\left(\sqrt{ab+ac}+\sqrt{ac+bc}+\sqrt{ab+bc}\right)}{a+b+c}\le\dfrac{2\sqrt{6\left(ab+bc+ca\right)}}{a+b+c}\)

\(T\le\dfrac{2\sqrt{2\left(a+b+c\right)^2}}{a+b+c}=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(SA=SB=SC\)

Gọi O là tâm đáy, từ O kẻ \(OH\perp SC\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\) \(\Rightarrow BD\perp SC\)

\(\Rightarrow SC\perp\left(BDH\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SC\perp BH\\SC\perp DH\end{matrix}\right.\) góc giữa BH và DH là góc \(\alpha\) giữa (SCD) và (SBC)

\(BD=a\sqrt{2}\) ; \(SB=SD=a\sqrt{2}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SBC:

\(BH=\dfrac{SB.BC}{\sqrt{SB^2+BC^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\), tương tự \(DH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow cos\alpha=\left|cos\widehat{BHD}\right|=\left|\dfrac{BH^2+DH^2-BD^2}{2BH.DH}\right|=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\alpha=60^0\)

B 

B mik nghĩ thế

B

M, N lần lượt là trung điểm AD, SD \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SAD

\(\Rightarrow MN||SA\Rightarrow\) góc giữa MN và CD bằng góc giữa SA và CD 

Lại có CD song song AB nên góc SA và CD bằng góc SA và AB

\(\Rightarrow\widehat{SAB}\) là góc cần tìm

Mà tất cả các cạnh chóp bằng a \(\Rightarrow\Delta SAB\) đều

\(\Rightarrow\widehat{SAB}=60^0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp SO\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

Từ O kẻ \(OH\perp SA\) (H thuộc SA)

Do \(OH\in\left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp OH\)

\(\Rightarrow OH\) là đường vuông góc chung BD và SA hay \(OH=d\left(BD;SA\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) ; \(SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta SAO\) vuông cân tại O

\(\Rightarrow OH=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{a}{2}\)

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ON\perp AB\\SO\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SON\right)\)

Từ O kẻ \(OH\perp SN\) (H thuộc SN) \(\Rightarrow OH\perp\left(SAB\right)\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SAB\right)\right)\)

\(ON=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{a}{2}\) ; \(SO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Hệ thức lượng: \(OH=\dfrac{SO.ON}{\sqrt{SO^2+ON^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\)

Lại có: M là trung điểm OD \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}OD\Rightarrow BM=\dfrac{3}{2}OB\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(SAB\right)\right)=\dfrac{3}{2}d\left(O;\left(SAB\right)\right)=\dfrac{3}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{6}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

Đặt \(SA=x;SB=y\)

\(S_{\Delta SAB}=\dfrac{1}{2}SA.SB=\dfrac{xy}{2}\)

\(V=\dfrac{SA.SB.SC}{6}.\sqrt{1+2.cos90^0.cos60^0.cos120^0-cos^290^0-cos^260^0-cos^2120^0}=\dfrac{axy}{6}\)

\(\Rightarrow d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{axy}{2.\dfrac{xy}{2}}=a\)