Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;1;5), mặt phẳng (P) : \(2x-2y+z-1=0\) và đường thẳng (d)\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1}\). Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với (P) và song song với d.
Bài 3.2: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Kẻ \(SH\perp AC\left(H\in AC\right)\)
Do \(\left(SAC\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)
\(SA=\sqrt{AC^2-SC^2}=a;SH=\frac{SA.SC}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2}=2a^2\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.2a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)
Ta có \(AH=\sqrt{SA^2-SH^2}=\frac{a}{2}\Rightarrow CA=4HA\Rightarrow d\left(C,\left(SAD\right)\right)=4d\left(H,\left(SAD\right)\right)\)
Do BC//\(\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(B,\left(SAD\right)\right)=d\left(C,\left(SAD\right)\right)=4d\left(H,\left(SAD\right)\right)\)
Kẻ \(HK\perp AD\left(K\in AD\right),HJ\perp SK\left(J\in SK\right)\)
Chứng minh được \(\left(SHK\right)\perp\left(SAD\right)\) mà \(HJ\perp SK\Rightarrow HJ\perp\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(H,\left(SAD\right)\right)=HJ\)
Tam giác AHK vuông cân tại K\(\Rightarrow HK=AH\sin45^0=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(\Rightarrow HJ=\frac{SH.HK}{\sqrt{SH^2+HK^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\)
Vậy \(d\left(B,\left(SAD\right)\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho hình chóp SABCD có đáy là nửa lục giác đều ,AB=2a,BC=CD=DA=a,SA vuông góc mp(ABCD),SA=a ,(P) là mp qua A vuông góc SB cắt SB,SC,SD tại M,N,K.a,CMR: tứ giác AMNK nội tiếp
b,A,B,C,D,M,N,K thộc một mặt cầu
Cho tứ diện ABCD, mp (α) thay đổi đi qua các trung ddiemr I,K của các cạnh DA,DB.Các cạnh CA,CB lần lượt cắt mp(α) tại M,N
a,Gọi O là giao của Mi và Nk .Chứng minh O luôn thuộc 1 đường thẳng cố định
b, Gọi d là giao của mp(α) với mặt phẳng (OAB).Chứng minh khi mặt phẳng (α) thay đôie thì đường thẳng d luôn nằm trên 1 mp cố định và có phương không đổi
Cho hai điểm A(0;0;3) và B(1;-2;-3). Gọi A'B' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (Oxy). Viết phương trình tham số của đường thẳng A'B'.
Giải:
Gọi \((l)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng đi qua $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$
\(\overrightarrow{n_l}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{Oxy}}]=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{Oz}]=(2,1,0)\)
Suy ra PTMP $(l)$ là : \(2x+y=0\)
Ta thấy \(A'B'=(Oxy)\cap (l)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{A'B'}}=[\overrightarrow{n_{Oxy}},\overrightarrow{n_l}]=(1,-2,0)\)
Mặt khác điểm \((1,-2,0)\) thuộc đường thẳng $A'B'$
\(\Rightarrow \) PTĐT: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t+1\\y=-2-2t\\z=0\end{matrix}\right.\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho (d) \(\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-1}{-2}\) và (P): x-3y+z-4=0.
Viết phương trình hình chiếu của (d) trên (P).
Lời giải:
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng chứa \((d)\) và vuông góc với \((P)\)
Khi đó vector pháp tuyến của \((\alpha): \overrightarrow{n_{\alpha}}=[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}]=(-4,1,7)\)
Mặt khác \((\alpha)\) chứa $(d)$ nên chứa luôn điểm \((4,1,3)\) nên PTMP \((\alpha)\) là :
\(-4x+y+7z-6=0\)
Khi đó hình chiếu \((d')\) của $(d)$ trên $(P)$ là giao của $(P)$ và \((\alpha)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{d'}}=[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_{\alpha}}]=(22,11,11)=11(2,1,1)\)
Mặt khác \((d')=(P)\cap (\alpha)\) nên \((d') \) đi qua điểm \((0,\frac{1}{2},\frac{11}{2})\)
Do đó PT hình chiếu là:\(\frac{x}{2}=\frac{y-\frac{1}{2}}{1}=\frac{z-\frac{11}{2}}{1}\)
Đúng 0
Bình luận (0)