Bài 3: Cấp số cộng

\(S_n=nu_1+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}d=n\left(n.\dfrac{d}{2}+u_1-\dfrac{d}{2}\right)=n\left(n+4\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{d}{2}=1\\u_1-\dfrac{d}{2}=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=5\\d=1\end{matrix}\right.\)

\(u_n=5+1.\left(n-1\right)=n+4\)

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+...+C_n^nx^n\)

Cho \(x=1\) ta được:

\(C_n^0+C_n^1+...+C_n^n=2^n\)

Bài này chỉ cần thay \(n=15\)

Nếu 3 cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng thì ta có a + c = 2b

\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=4\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\left(1\right)\)

Vì \(A+C=180^0-B\Rightarrow\frac{A+C}{2}=90^0-\frac{B}{2}\)

<=> \(\sin\frac{A+C}{2}=\sin\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\cos\frac{B}{2}\) hoặc \(\cos\frac{A+C}{2}=\cos\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\sin\frac{B}{2}\) (*)

Do đó (1) trở thành :

\(\Leftrightarrow\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{B}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\cos\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}=2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}=3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cot\frac{A}{2}\cot\frac{C}{2}=3\) => Điều phải chứng minh

Gọi d là công sai. Ba số phải tìm là \(\left(x-d\right);x;\left(x+d\right)\), ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}\left(x-d\right)+x+\left(x+d\right)=9\left(1\right)\\\left(x-d\right)^2+x^2+\left(x+d\right)^2=125\left(2\right)\end{cases}\)

(1) \(\Leftrightarrow3x=9\Rightarrow x=3\)

(2)\(\Leftrightarrow\left(3-d\right)^2+3^2+\left(3+d\right)^2=125\Leftrightarrow d=\pm7\)

Với d = 7 cấp số là : -4 ; 3 ; 10

Với d = -7 cấp số là 10; 3 ; -4

Ta có \(0,232323.....=0,23+0,0023+0,000023+.....\)

                              \(=\frac{23}{100}+\frac{23}{10000}+\frac{23}{1000000}+...=\frac{23}{10^2}+\frac{23}{10^4}+\frac{23}{10^6}+....\)

Đây là cấp số nhân có \(u_1=\frac{23}{10^2}\) và công bội \(q=\frac{1}{10^2}\) nên \(S=\frac{\frac{23}{10^2}}{1-\frac{1}{10^2}}=\frac{23}{99}\)

Vì 3 nghiệm phân biệt : \(x_1,x_2,x_3\) lập thàng cấp số cộng, nên ta có thể đặt :

\(x_1=x_0-d,x_2=x_0;x_3=x_0+d\left(d\ne0\right)\). Theo giả thiết ta có :

\(x^3+3x^2-\left(24+m\right)x-26-n=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)

                                                 \(=\left(x-x_0+d\right)\left(x-x_0\right)\left(x-x_0-d\right)\)

                                                 \(=x^3-3x_0x^2+\left(3x^2_0-d^2\right)x-x^3_0+x_0d^2\) với mọi x

Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ :

\(\begin{cases}-3x_0=3\\3x_0^2-d^2=-\left(24+m\right)\\-x_0^3+x_0d^2=-26-n\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\3-d^2=-24-m\\1-d^2=-26-n\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\m=n\end{cases}\)

Vậy với m = n thì 3 nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng

Theo đầu bài ta có : \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{C}{2}=2\cot\frac{B}{2}\Leftrightarrow\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}=2\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}=2\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A+C}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\sin\frac{A+C}{2}=\left(\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{A+C}{2}\right)\sin\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}=\cos\frac{A-C}{2}\sin\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sin\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin C\right)\)

\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Rightarrow a+c=2b\)

Chứng tỏ 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng