Bài 3: Cấp số cộng

a) A=1998.1998

B=1996.2000=(1998-2)(1998+2)=1998.1998-4

=> A>B(A-B=1998.1998-(1998.1998-4)=4)

b) A=2000.2000

B=1990.2010=(2000-10)(2000+10)=2000.2000-100

=> A>B(A-B=2000.2000-(2000.2000-100)=100)

c) A=25.(31+2)-10=25.31+50-10=25.31+40

B=31.26+10=31(25+1)+10=25.31+31+10=25.31+41

=>B>A(B-A=25.31+41-(25.31+40)=1)

Gọi d = 2a là công sai. Bốn số phải tìm là \(A=\left(x-3a\right);B=\left(x-a\right);C=\left(x+a\right);D=\left(x+3a\right)\)

Ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}\left(x-3a\right)+\left(x-a\right)+\left(x+a\right)+\left(x+3a\right)=360^0\\\left(x+3a\right)=5\left(x-3a\right)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=90^0\\a=20^0\end{cases}\)

Bốn góc phải tìm là : \(A=30^0;B=70^0;C=110^0;D=150^0\)

vì 3​ góc tạo thành cấp số cộng

ta có Sn​=nU₁+n(n-1)d/2

​hay 180=3*25+3d===>d=35

​ 2 góc còn lại 60 và 95

​vì 4 góc tạo thành cấp số cộng

​S_n​=nU₁+n(n-1)d/2

​hay 360=4*30+6d===>d=40

​3 góc còn lại 70,110,150

​

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có \(u_1+u_4=u_2+u_3\)

Do đó : \(\Leftrightarrow\left(x-u_1\right)\left(x-u_2\right)\left(x-u_3\right)\left(x-u_4\right)=\left[x^2-\left(u_1-u_4\right)x+u_1u_4\right]\left[x^2-\left(u_2-u_3\right)x+u_2u_3\right]\)(*)

Đặt \(t=x^2-\left(u_1+u_4\right)x=x^2-\left(u_2+u_3\right)x\)

Khi đó (*) \(\Leftrightarrow f\left(t\right)=\left(t+u_1u_4\right)\left(t+u_2u_3\right)+9=t^2+\left(u_1u_4+u_2u_3\right)t+u_1u_4u_2u_3+9\)

Với \(\Delta_t=\left(u_1u_4+u_2u_3\right)^2-4u_1u_4u_2u_3-36=\left(u_1u_4+u_2u_3\right)^2-36\)

Rõ ràng \(\left|u_1u_4-u_2u_3\right|\le6\Rightarrow\Delta_t<0\leftrightarrow f\left(t\right)>0\)với mọi t

<=> A có nghĩa với mọi x

Gọi d là công sai. Ba số phải tìm là \(\left(x-d\right);x;\left(x+d\right)\), ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}\left(x-d\right)+x+\left(x+d\right)=9\left(1\right)\\\left(x-d\right)^2+x^2+\left(x+d\right)^2=125\left(2\right)\end{cases}\)

(1) \(\Leftrightarrow3x=9\Rightarrow x=3\)

(2)\(\Leftrightarrow\left(3-d\right)^2+3^2+\left(3+d\right)^2=125\Leftrightarrow d=\pm7\)

Với d = 7 cấp số là : -4 ; 3 ; 10

Với d = -7 cấp số là 10; 3 ; -4

Ta có \(0,232323.....=0,23+0,0023+0,000023+.....\)

                              \(=\frac{23}{100}+\frac{23}{10000}+\frac{23}{1000000}+...=\frac{23}{10^2}+\frac{23}{10^4}+\frac{23}{10^6}+....\)

Đây là cấp số nhân có \(u_1=\frac{23}{10^2}\) và công bội \(q=\frac{1}{10^2}\) nên \(S=\frac{\frac{23}{10^2}}{1-\frac{1}{10^2}}=\frac{23}{99}\)

Vì 3 nghiệm phân biệt : \(x_1,x_2,x_3\) lập thàng cấp số cộng, nên ta có thể đặt :

\(x_1=x_0-d,x_2=x_0;x_3=x_0+d\left(d\ne0\right)\). Theo giả thiết ta có :

\(x^3+3x^2-\left(24+m\right)x-26-n=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)

                                                 \(=\left(x-x_0+d\right)\left(x-x_0\right)\left(x-x_0-d\right)\)

                                                 \(=x^3-3x_0x^2+\left(3x^2_0-d^2\right)x-x^3_0+x_0d^2\) với mọi x

Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ :

\(\begin{cases}-3x_0=3\\3x_0^2-d^2=-\left(24+m\right)\\-x_0^3+x_0d^2=-26-n\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\3-d^2=-24-m\\1-d^2=-26-n\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\m=n\end{cases}\)

Vậy với m = n thì 3 nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng

Theo đầu bài ta có : \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{C}{2}=2\cot\frac{B}{2}\Leftrightarrow\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}=2\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}=2\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A+C}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\sin\frac{A+C}{2}=\left(\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{A+C}{2}\right)\sin\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}=\cos\frac{A-C}{2}\sin\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sin\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin C\right)\)

\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Rightarrow a+c=2b\)

Chứng tỏ 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng