Bài 3: Cấp số cộng

Nghe lời như vầy có phải dễ thương hơn không :3

Gọi công sai của cấp số cộng đó là d và số đầu tiên là u₁ thì ta có:

\(\left\{\begin{matrix}u_2=u_1+d\\u_3=u_1+2d\\...\\u_n=u_1+\left(n-1\right)d\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(S_n=u_1+u_2+u_3...+u_n\)

\(=u_1+u_1+d+u_1+2d+...+u_1+\left(n-1\right)d\)

\(=n.u_1+d\left(1+2+...+\left(n-1\right)\right)\)

\(=n.u_1+\frac{\left(n-1\right).n.d}{2}\)

\(=\frac{n}{2}\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)\)

\(=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}\)

\(S=1^2-2^2+3^2-4^2+...+2011^2-2012^2\)

\(=\left(1^2-2^2\right)+\left(3^2-4^2\right)+...+\left(2011^2-2012^2\right)\)

\(=-3-7-...-4023\)

\(=-\frac{1006.4026}{2}=-2025078\)

Gọi d là công sai của cấp số nhân thì ta có

\(\left\{\begin{matrix}u_2=u_1+d\\u_3=u_1+2d\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có: \(\left\{\begin{matrix}u_1+u_2+u_3=-3\\u^2_1+u_2^2+u^2_3=35\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u_1+u_1+d+u_1+2d=-3\\u^2_1+\left(u_1+d\right)^2+\left(u_1+2d\right)^2=35\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u_1+d=-1\\u^2_1+\left(u_1+d\right)^2+\left(u_1+2d\right)^2=35\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u_1=-1-d\\\left(-1-d\right)^2+\left(-1\right)^2+\left(-1+d\right)^2=35\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u_1=-1-d\\d^2=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u_1=-5\\d=4\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix}u_1=3\\d=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy ba số hạng đầu của cấp số cộng đó là: - 5; - 1; 3 hoặc 3; - 1; - 5

Một lớp học vùng cao năm lớp 1 có 31 bạn, hỏi đến năm lớp 11 có mấy bạn, biết rằng cứ sau một năm có một em bỏ học, một em bị đúp và một em chuyển trường khác.

Giải:

\(A=\dfrac{9}{1.2}+\dfrac{9}{2.3}+\dfrac{9}{3.4}+...+\dfrac{9}{98.99}+\dfrac{9}{99.100}\)

\(A=9.\left(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{98.99}+\dfrac{1}{99.100}\right)\)

\(A=9.\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+....+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)\)

\(A=9.\left(1-\dfrac{1}{100}\right)\)

\(A=9.\dfrac{99}{100}\)

\(A=\dfrac{891}{100}\)

a) A=1998.1998

B=1996.2000=(1998-2)(1998+2)=1998.1998-4

=> A>B(A-B=1998.1998-(1998.1998-4)=4)

b) A=2000.2000

B=1990.2010=(2000-10)(2000+10)=2000.2000-100

=> A>B(A-B=2000.2000-(2000.2000-100)=100)

c) A=25.(31+2)-10=25.31+50-10=25.31+40

B=31.26+10=31(25+1)+10=25.31+31+10=25.31+41

=>B>A(B-A=25.31+41-(25.31+40)=1)

vì 3​ góc tạo thành cấp số cộng

ta có Sn​=nU₁+n(n-1)d/2

​hay 180=3*25+3d===>d=35

​ 2 góc còn lại 60 và 95

​vì 4 góc tạo thành cấp số cộng

​S_n​=nU₁+n(n-1)d/2

​hay 360=4*30+6d===>d=40

​3 góc còn lại 70,110,150

​

Ta phân tích \(n^2=\dfrac{1}{3}\left(n+1\right)^3-\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(n+1\right)-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-\dfrac{1}{3}\left(n+1\right)^3+\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2-\dfrac{1}{6}\left(n+1\right)=u_n-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\)

Đặt \(v_n=u_n-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=1\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.\)

Từ \(v_{n+1}=v_n\Rightarrow v_{n+1}=v_n=v_{n-1}=...=v_1=1\)

\(\Rightarrow u_n-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n=1\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n+1\)

\(\Rightarrow u_n=1+\dfrac{2n^3-3n^2+n}{6}=1+\dfrac{n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)}{6}\)

\(u_2=u_1+1^2=1+1^2=1+\dfrac{1\cdot2\cdot3}{6}\\ u_3=u_2+2^2=1+1^2+2^2=1+\dfrac{2\cdot3\cdot5}{6}\\ u_4=u_3+3^2=1+1^2+2^2+3^2=1+\dfrac{3\cdot4\cdot7}{6}\\ ...\\ \Rightarrow u_n=1+\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

Đúng k nhỉ?