Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

a)

đặt x^2 -2x -3 =t

<=> t^2 +32t +112 =0

t=-4 nhận

t=-28

loại

=> x^2 -2x +1 =0 => x=1

1: Thay x=4 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{1}{2}\cdot4^2=8\)

Thay x=4 và y=8 vào y=x-m, ta được:

4-m=8

hay m=-4

Đặt x² - x =t (t khác 0)

pt\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}-2t+1=0\Leftrightarrow2t^2-t-1=0\)

a+b+c =0 => t=1 hoặc t =-1/2 (TM)

+ t =1 => x² - x =1 => x² -x -1 =0 =>x= \(\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

+t =1/2 => x² - x =1/2 =>2 x² -2x -1 =0 => x=\(\dfrac{1\mp\sqrt{3}}{2}.\)

Vậy tập nghiệm của PT : S ={\(\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\);\(\dfrac{1\mp\sqrt{3}}{2}.\)}.

đk: \(x\ne0\) và \(x\ne1\)

Pt đã cho \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x\left(x-1\right)}-2x\left(x-1\right)+1=0\)

Đặt \(t=x\left(x-1\right)\) đk: \(t\ne0\), khi đó pt

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}-2t+1=0\)

\(\Leftrightarrow1-2t^2+t=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(-2t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\left(x-1\right)=1\\x\left(x-1\right)=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x-1=0\left(1\right)\\x^2-x+\dfrac{1}{2}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Xét pt (1) có: \(\Delta=1+4=5>0\) nên pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) (thỏa mãn)

Xét pt (2) có: \(\Delta=1-2=-1< 0\) nên pt (2) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của pt là \(S=\left\{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right\}\)

\(P=\dfrac{xy}{1+x+y}+\dfrac{yz}{1+y+z}+\dfrac{xz}{1+z+x}\)

\(P+3=\dfrac{xy}{1+x+y}+1+\dfrac{yz}{1+y+z}+1+\dfrac{xz}{1+z+x}+1\)

\(P+3=\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{1+x+y}+\dfrac{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}{1+y+z}+\dfrac{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}{1+z+x}\)

\(P+3=\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}{\left(1+x+y\right)\left(z+1\right)}+\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}{\left(x+1\right)\left(1+y+z\right)}+\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}{\left(y+1\right)\left(1+z+x\right)}\)

\(P+3=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\left[\dfrac{1}{\left(1+x+y\right)\left(z+1\right)}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(1+y+z\right)}+\dfrac{1}{\left(y+1\right)\left(1+z+x\right)}\right]\)

\(\ge\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\cdot\dfrac{9}{\left(1+x+y\right)\left(z+1\right)+\left(x+1\right)\left(1+y+z\right)+\left(y+1\right)\left(1+z+x\right)}\)

\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\cdot\dfrac{9}{\text{ }2xy+2yz+2xz+3x+3y+3z+3}\)

\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\cdot\dfrac{9}{\text{ }2xy+2yz+2xz+3\cdot2xyz}\)

\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\cdot\dfrac{9}{\text{ }2\left(xy+yz+xz+3xyz\right)}\)

Lại có:

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1\)

\(=xyz+xy+yz+xz+2xyz=xy+yz+xz+3xyz\)

\(\Rightarrow P+3\ge\left(xy+yz+xz+3xyz\right)\cdot\dfrac{9}{2\left(xy+yz+xz+3xyz\right)}\)

\(\Rightarrow P+3\ge\dfrac{9}{2}\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)

Đề không đầy đủ

* Với m=2 thì :

hệ pt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+2y=3\\2x-2y=11\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{7}{2}\\y=-2\end{matrix}\right.\)

* + m=0 \(\Rightarrow\)hệ pt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y=3\\2x=11\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{11}{2}\\y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)hệ pt có nghiệm duy nhất: (x;y)=(\(\dfrac{11}{2};\dfrac{3}{2}\))(1)

+ m\(\ne0\):

Hệ pt có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{m}{2}\ne\dfrac{2}{-m}\Rightarrow-m^2\ne4\Rightarrow m^2\ne-4\)(luôn đúng \(\forall m\))(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)đccm

Đây là ý kiến của mk.Nếu đúng thì bn cho 1 tick còn nếu sai thì bn góp ý nhé.

\(\dfrac{1}{4}x^2+y^2+4z^2+xy-4yz-2xz+x^2y^2-xy+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}x^2+z^2-2z+1-\dfrac{5}{4}\)

=\(\left(\dfrac{1}{2}x+y-2z\right)^2+\left(xy-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}x^2+\left(z-1\right)^2-\dfrac{5}{4}>=-\dfrac{5}{4}\)

=>Min P=\(-\dfrac{5}{4}\)

​ Giúp vs Ace Legona