§2. Tích vô hướng của hai vectơ

chọn hệ trục Oxy, O trung với D

ta có A(0;a) ,B(a;a) ,C(a;0) ,D(0;0) ,M(a;\(\frac{a}{2}\)), N(x;y)

^{_{\(\overrightarrow{AM}\left(a;\frac{a}{2}-a\right)\)}}

\(\overrightarrow{CN}\left(x-a;y\right),\overrightarrow{ND}\left(-x;-y\right)\)

^{_{lai co NC=2ND <=> CN=2ND <=> \(\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{ND}\)}}

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x-a=-2x\\-y=-2y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{a}{3}\\y=0\end{matrix}\right.\)

=> N(a/3 ; 0)

\(\overrightarrow{AN}\left(\frac{a}{3};-a\right)\)

ta co \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=a\cdot\frac{a}{3}+\left(\frac{a}{2}-a\right)\cdot\left(-a\right)\)

=\(\frac{5a^2}{6}\)

ta có AB=\(\sqrt{\left(-5+3\right)^2+\left(1-5\right)^2}=2\sqrt{5}\)

AC=\(\sqrt{\left(0+3\right)^2+\left(-4-5\right)^2}=3\sqrt{10}\)

BC=\(\sqrt{5^2+\left(-4-1\right)^2}=5\sqrt{2}\)

theo dinh li cos trong tam giac ta co

cosA=\(\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AC\cdot AB}\)

=\(\frac{\left(2\sqrt{5}\right)^2+\left(3\sqrt{10}\right)^2-\left(5\sqrt{2}\right)^2}{2\cdot3\sqrt{10}\cdot2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

=> BAC=45 do

\(cos\) Â cos (AB,AC)=\(\dfrac{\left(-8\right)\left(-3\right)+\left(-4\right)\left(-9\right)}{\sqrt{\left(-8\right)^2+\left(-4\right)^2}.\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-9\right)^2}}\) =\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) vậy Â=(AB,AC)=\(45^o\) cos B(BC,BA)=\(\dfrac{5.8+\left(-5\right).4}{\sqrt{5^2+\left(-5\right)^2}.\sqrt{8^2+4^2}}\) =\(\dfrac{\sqrt{10}}{10}\) cos C (CA,CB)=\(\dfrac{3.\left(-5\right)+9.5}{\sqrt{3^2+9^2}.\sqrt{\left(-5\right)^2+5^2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

ta có : \(M\left(-1;4\right)\) là trung điểm của \(AB\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_A+x_B}{2}=-1\\\dfrac{y_A+y_B}{2}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2\\y_A+y_B=8\end{matrix}\right.\).............. (1)

ta có : \(N\left(2;0\right)\) là trung điểm của \(BC\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_B+x_C}{2}=2\\\dfrac{y_B+y_C}{2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=4\\y_B+y_C=0\end{matrix}\right.\) ...................(2)

ta có : \(P\left(6;1\right)\) là trung điểm của \(BC\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_C+x_A}{2}=6\\\dfrac{y_C+y_A}{2}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C+x_A=12\\y_C+y_A=2\end{matrix}\right.\)...................(3)

từ : (1) ; (2) và (3) ta có được : hệ phương trình về hoành độ và hệ phương trình về tung độ

phương trình về hoành độ : \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2\\x_B+x_C=4\\x_C+x_A=12\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=3\\x_B=-5\\x_C=9\end{matrix}\right.\)...(4)

phương trình về tung độ : \(\left\{{}\begin{matrix}y_A+y_B=8\\y_B+y_C=0\\y_C+y_A=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_A=5\\y_B=3\\y_C=-3\end{matrix}\right.\)........(5)

từ : (4) và (5) ta có được tọa độ điểm : \(A\left(3;5\right)\) ; \(B\left(-5;3\right)\) ; \(C\left(9;-3\right)\)

vậy tọa độ điểm : \(A\left(3;5\right)\) ; \(B\left(-5;3\right)\) ; \(C\left(9;-3\right)\)