Định nghĩa sự đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của một hàm số trên một khoảng ?
Giải bài tập sách giáo khoa
Định nghĩa sự đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của một hàm số trên một khoảng ?
Phát biểu các điều kiện cần và đủ để hàm số \(f\left(x\right)\) đơn điệu trên một khoảng ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGiả sử hàm số y=f(x)y=f(x)có đạo hàm trên khoảng D
a.Nếu hàm số y=f(x)y=f(x) đồng biến trên D thì f'(x)≥0,∀x∈D
b.Nếu hàm số y=f(x)y=f(x) nghịch biến trên D thì f'(x)≤0,∀x∈D
*** Lưu ý : nếu trên miền D, có tồn tại vài giá trị xo sao cho f'(xo)=0. Không ảnh hưởng đến tính đơn điệu của hàm y=f(x) trên miền đó.
(Trả lời bởi Quang Duy)
Phát biểu các điều kiện đủ để hàm số \(f\left(x\right)\) có cực trị (cực đại, cực tiểu) tại điểm \(x_0\) ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Nêu sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Tìm tập xác định của hàm số. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số để thu hẹp phạm vi khảo sát.
b) Sự biến thiên :
+ Xét sự biến thiên của hàm số :
- Tìm đạo hàm bậc nhất y' ;
- Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định ;
- Xét dấu y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số .
+ Tìm cực trị .
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên tổng kết các bước trên để hình dung ra dáng điệu của đồ thị .
c) vẽ đồ thị (thể hiện các cực trị, tiệm cận, giao của đồ thị với các trục, . . .).
(Trả lời bởi _silverlining)
Nêu định nghĩa và các tính chất cơ bản của lôgarit ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Phát biểu các định lí về quy tắc tính lôgarit, công thức đổi cơ số của lôgarit ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Nêu tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit, mối liên hệ giữa đồ thị các hàm số mũ và hàm số lôgarit cùng cơ số ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải1. Tính chất của hàm số mũ y= ax ( a > 0, a# 1).
- Tập xác định: .
- Đạo hàm: ∀x ∈ ,y’= axlna.
- Chiều biến thiên Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến
Nếu 0< a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến
- Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.
- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành ( y= ax > 0, ∀x), và luôn cắt trục tung taih điểm ( 0;1) và đi qua điểm (1;a).
2. Tính chất của hàm số lôgarit y = logax (a> 0, a# 1).
- Tập xác định: (0; +∞).
- Đạo hàm ∀x ∈ (0; +∞),y’ = .
- Chiều biến thiên: Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến
Nếu 0< a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến
- Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.
- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0) và đi qua điểm (a;1).
3. Chú ý
- Vì e > 1 nên nếu a > 1 thì lna > 0, suy ra (ax)’ > 0,∀x và (logax)’ > 0, ∀x > 0;
do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.
Tương tự, nếu 0 < a< 1thì lna < 0, (ax)’ < 0 và (logax)’ < 0, ∀x > 0; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.
- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành
(ln|x|)’ = , ∀x # 0 và (loga|x|)’ = , ∀x # 0.
(Trả lời bởi qwerty)
Nêu định nghĩa và các phương pháp tính nguyên hàm ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiPhương pháp đổi biến sốTa biết rằng nếu ∫f(x)dx=F(x)+C thì ∫f(t)dt=F(t)+C.
Từ đó ta có phương pháp để tìm nguyên hàm của những hàm số dạng g(x)=f(u(x))u′(x) bằng cách đặt t=u(x).
Nội dung phương pháp đổi biến số tính: ∫g(x)dx=∫f(u(x))u′(x)dx
Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx (lấy đạo hàm hai vế)
⇒∫g(x)dx=∫f(t)dt=F(t)+C
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin3xcosx
Phân tích: Ta thấy f(x)=sin3xcosx=(sinx)3(sinx)′ nên ta có thể đặt t=sinx.
Giải
t=sinx⇒dt=cosxdx
⇒∫sin3xcosxdx=∫t3dt=t44+C=sin4x4+C (C∈R)
Ví dụ 2: Tính ∫xx2+1−−−−−√dx
Phân tích: xx2+1−−−−−√=(x2+1)12122x=12(x2+1)12(x2+1)′
Giải
Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx
∫xx2+1−−−−−√dx=∫(x2+1)12122xdx=12∫t12dt=t323+C
=(x2+1)323+C=(x2+1)x2+1√3+C (C∈R)
Lưu ý: Ta có thể giải ví dụ 2 như sau:
t=x2+1−−−−−√⇒t2=x2+1⇒2tdt=2xdx⇒tdt=xdx
⇒∫xx2+1−−−−−√dx=∫x2+1−−−−−√.xdx=∫t.tdt=∫t2dt
=t33+C=(x2+1√)33+C=(x2+1)x2+1√3+C
Nguyên hàm của một số hàm số hợp đơn giản1) ∫kdx=kx+C
2) ∫(ax+b)αdx=1a(ax+b)α+1α+1+C(α≠1)
3) ∫dxax+b=1aln|ax+b|+C(x≠0)
4) ∫eax+bdx=1aeax+b+C
5) ∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C
6) ∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+C
7) ∫1cos2(ax+b)dx=1atan(ax+b)+C
8) ∫1sin2(ax+b)dx=−1acot(ax+b)+C . Định nghĩa
(Trả lời bởi dương thùy)
VÍ DỤ 1. Cho {F(x)=x3f(x)=3x2
VÍ DỤ 2. Cho {F(x)=cosxf(x)=−sinx
Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có F’(x) = f(x). Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Vì với là một hằng số bất kỳ, ta có (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x) nên nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x). Ta gọi F(x) + C, ( C là hằng số) là Họ nguyên hàm của f(x).
Ký hiệu: ∫f(x)dx=F(x)+C
VÍ DỤ:
∫x4dx=15x5+C;∫cosxdx=sinx+C
Nêu định nghĩa các phương pháp tính tích phân ?
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảiLoại 1: Đặt t=u(x) Loại 2: Đặt x=u(t) Phương pháp đổi biến loại 1Bài toán: Tính tích phân dạng: I=∫abf(u(x))(u(x))′dx
Phương pháp:
Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx
Đổi cận:
⇒I=∫u(a)u(b)f(t)dt
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a) I=∫01ex2+1xdx
Phân tích: Ta thấy có thể viết lại: I=∫01ex2+1xdx=∫01ex2+112.2xdx=12∫01ex2+1.2xdx
Trong đó 2x là đạo hàm của x2+1 nên ta có thể đặt t=x2+1.
Giải
Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx
Đổi cận:
⇒I=12∫12etdt=12et∣∣∣21=12(e2−e)
b) J=∫01x3x2+1−−−−−√dx
Đặt t=x2+1−−−−−√⇒t2=x2+1⇒x2=t2−1⇒xdx=tdt
Đổi cận:
⇒J=∫01x2.x2+1−−−−−√.xdx=∫12√(t2−1).t.tdt=∫12√(t4−t2)dt
=(t55−t33)∣∣∣2–√1=22√+215
Một số bài tập áp dụng
1) J1 = ∫12xex2dx 2) J2 = ∫1e1+lnx√xdx
3) J3 = ∫01x3(x4−1)5dx 4) J4 = ∫024−x2−−−−−√.xdx
5) J5 = ∫0π/2cosx(1+sinx)4dx
Phương pháp đổi biến loại 2Trong một số trường hợp đặt biệt, ta sẽ đổi biến bằng cách đặt x=u(t) để chuyển từ biến x về biến t. Một số trường hợp mà ta thường gặp có thể áp dụng phương pháp này:
1) Hàm số có chứa a2−x2−−−−−−√: đặt x=|a|sint với (−π2≤t≤π2) hoặc x=|a|cost với (0≤t≤π).
2) Hàm số có chứa x2−a2−−−−−−√: đặt x=|a|sint với (−π2≤t≤π2;t≠0) hoặc x=|a|cost với (0≤t≤π;t≠π2).
3) Hàm số có chứa a2+x2: đặt x=|a|tant với (−π2≤t≤π2) hoặc x=|a|cott với (0≤t≤π).
Ví dụ 3: Tình các tích phân sau:
a) I=∫024−x2−−−−−√dx
Giải
Đặt x=2sint (−π2≤t≤π2)
⇒dx=2costdt
Đổi cận:
⇒I=∫0π24−4sin2t−−−−−−−−√.2costdt=∫0π24(1−sin2t)−−−−−−−−−−√.2costdt
=∫0π24cos2t−−−−−√.2costdt=∫0π24cos2tdt=∫0π22(1+cos2t)dt
=2(t+12sin2t)∣∣∣π20=π
b) J=∫01x1+x2dx
Giải
Đặt x=tant⇒dx=1cos2tdt (−π2≤t≤π2)
Đổi cận:
⇒J=∫0π4tant1+tan2t(1+tan2t)dt=∫0π4tantdt=∫0π4sintcostdt
=−∫0π4(cost)′costdt=−ln(cost)∣∣∣π40=−ln2√2
Một số bài tập áp dụng:
1) ∫01dx1+x2 2) ∫02√2−x2−−−−−√dx 3) ∫2√2dxxx2−1√
4) ∫123√2dx1−x2√ 5) ∫13√9+3x2√dxx2
(Trả lời bởi dương thùy)
Nhắc lại các định nghĩa số phức, số phức liên hợp, môđun của số phức. Biểu diễn hình học của số phức ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCác khái niệm về Số phức: Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) và \((a,b\in\mathbb{R}\) và \(i^2=-1)\) Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\ a=c\) và \(b=d\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow {OM} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a - bi.\) (Trả lời bởi qwerty)