Cho hàm số :
\(y=-\dfrac{1}{3}x^3+\left(a-1\right)x^2+\left(a+3\right)x-4\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng \(y=0;x=-1;x=1\)
Ôn tập cuối năm giải tích lớp 12
Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 2 - Bài tập (SGK trang 145)
Thảo luận (1)
Câu 1 - Bài tập (SGK trang 145)
Cho hàm số :
fleft(xright)ax^2-2left(a+1right)x+a+2 left(ane0right)
a) Chứng tỏ rằng phương trình fleft(xright)0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó ?
b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình fleft(xright)0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a ?
Đọc tiếp
Cho hàm số :
\(f\left(x\right)=ax^2-2\left(a+1\right)x+a+2\) \(\left(a\ne0\right)\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình \(f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó ?
b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a ?
Thảo luận (3)Hướng dẫn giảiTa có:
f(x) = ax2 – 2(a + 1)x + a + 2 = (x – 1)(ax – a- 2) nên phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm thực là:
x = 1, x=a+2ax=a+2a
Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:
S=2a+2a,P=a+2aS=2a+2a,P=a+2a
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số S=2a+2a=2+2aS=2a+2a=2+2a
- Tập xác định : (-∞, 0)∪ (0, +∞)
- Sự biến thiên: S′=−2a2<0,∀a∈(−∞,0)∪(0,+∞)S′=−2a2<0,∀a∈(−∞,0)∪(0,+∞) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng (-∞, 0) và (0, +∞)
- Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
lima→+∞S=lima→+∞(2+2a)=2lima→−∞S=lima→−∞(2+2a)=2lima→+∞S=lima→+∞(2+2a)=2lima→−∞S=lima→−∞(2+2a)=2
Vậy S = 2 là tiệm cận ngang
- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
lima→0+S=lima→0+(2+2a)=+∞lima→0−S=lima→0−(2+2a)=−∞lima→0+S=lima→0+(2+2a)=+∞lima→0−S=lima→0−(2+2a)=−∞
Vậy a = 0 là tiệm cận đứng.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại a = -1
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số P=a+2a=1+2aP=a+2a=1+2a
Tập xác định: D = R\{0}
S′=−2a2<0,∀a∈DS′=−2a2<0,∀a∈D
lima→0−S=−∞lima→0−S=−∞⇒ Tiệm cận đứng: a = 0
lima→±∞S=1lima→±∞S=1⇒ Tiệm cận ngang: S = 1
Đồ thị hàm số:
Ngoài ra: đồ thị hàm số P=a+2a=1+2aP=a+2a=1+2a có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị S=2a+2a=2+2aS=2a+2a=2+2a dọc theo trục tung xuống phía dưới 1 đơn vị.
(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)
Câu 3 - Bài tập (SGK trang 146)
Cho hàm số yx^3+ax^2+bx+1
a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm Aleft(1;2right);Bleft(-2;-1right)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giớ hạn bởi các đường y0;x0;x1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành
Đọc tiếp
Cho hàm số \(y=x^3+ax^2+bx+1\)
a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(A\left(1;2\right);B\left(-2;-1\right)\)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giớ hạn bởi các đường \(y=0;x=0;x=1\) và đồ thị (C) xung quanh trục hoành
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Câu 4 - Bài tập (SGK trang 146)
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình :
\(s\left(t\right)=\dfrac{1}{4}t^4-t^3+\dfrac{t^2}{2}-3t\)
trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét
a) Tính v(2), a(2), biết v(t), a(t) lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyển động đã cho
b) Tìm thởi điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảia) Ta có:
v(t) = s’(t) = t3 – 3t2 + t – 3
a(t) = s’’(t) = 3t2 – 6t + 1
Do đó: v(2) = -5; a(2) = 1
b) v(t) = 0 ⇔ t3 – 3t2 + t – 3
⇔ t = 3
Vậy t = 3
(Trả lời bởi Mai Hà Chi)
Câu 5 - Bài tập (SGK trang 146)
Cho hàm số
yx^4+ax^2+b
a) Tính a, b để hàm số có cực trị bằng dfrac{3}{2} khi x1
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi a-dfrac{1}{2};b1
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1
Đọc tiếp
Cho hàm số
\(y=x^4+ax^2+b\)
a) Tính a, b để hàm số có cực trị bằng \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x=1\)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \(a=-\dfrac{1}{2};b=1\)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Câu 6 - Bài tập (SGK trang 146)
Cho hàm số \(y=\dfrac{x-2}{x+m-1}\)
a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(m=2\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ \(a\ne-1\)
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Câu 7 - Bài tập (SGK trang 146)
Cho hàm số ydfrac{2}{2-x}
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số yx^2+1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y0;x0;x1 xung quanh trục Ox
Đọc tiếp
Cho hàm số \(y=\dfrac{2}{2-x}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số \(y=x^2+1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng \(y=0;x=0;x=1\) xung quanh trục Ox
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Câu 8 - Bài tập (SGK trang 147)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) fleft(xright)2x^3-2x^2-12x+1 trên đoạn left[-2;dfrac{5}{2}right]
b) fleft(xright)x^2ln x trên đoạn left[1;eright]
c) fleft(xright)xe^{-x} trên nửa đoạn [0; +infty)
d) fleft(xright)2sin x+sin2x trên đoạn left[0;dfrac{3}{2}piright]
Đọc tiếp
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) \(f\left(x\right)=2x^3-2x^2-12x+1\) trên đoạn \(\left[-2;\dfrac{5}{2}\right]\)
b) \(f\left(x\right)=x^2\ln x\) trên đoạn \(\left[1;e\right]\)
c) \(f\left(x\right)=xe^{-x}\) trên nửa đoạn [0; +\(\infty\))
d) \(f\left(x\right)=2\sin x+\sin2x\) trên đoạn \(\left[0;\dfrac{3}{2}\pi\right]\)
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảia) f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 1 ⇒ f’(x) = 6x2 – 6x – 12
f’(x) = 0 ⇔ x ∈ {-1, 2}
So sánh các giá trị:
f(x) = -3; f(-1) = 8;
f(2) = -19, f(52)=−332f(52)=−332
Suy ra:
maxx∈[−2,52]f(x)=f(−1)=8minx∈[−2,52]f(x)=f(2)=−19maxx∈[−2,52]f(x)=f(−1)=8minx∈[−2,52]f(x)=f(2)=−19
b) f(x) = x2 lnx ⇒ f’(x)= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e] nên f(x) đồng biến.
Do đó:
maxx∈[1,e]f(x)=f(e)=e2minx∈[1,e]f(x)=f(1)=0maxx∈[1,e]f(x)=f(e)=e2minx∈[1,e]f(x)=f(1)=0
c) f(x) = f(x) = xe-x ⇒ f’(x)= e-x – xe-x = (1 – x)e-x nên:
f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1) và f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)
nên:
maxx∈[0,+∞)f(x)=f(1)=1emaxx∈[0,+∞)f(x)=f(1)=1e
Ngoài ra f(x) = xe-x > 0, ∀ x ∈ (0, +∞) và f(0) = 0 suy ra
maxx∈[0,+∞)f(x)=f(0)=0maxx∈[0,+∞)f(x)=f(0)=0
d) f(x) = 2sinx + sin2x ⇒ f’(x)= 2cosx + 2cos2x
f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π
⇔ x∈{−π+k2π;π3+k2π3}x∈{−π+k2π;π3+k2π3}
Trong khoảng [0,3π2][0,3π2] , phương trình f’(x) = 0 chỉ có hai nghiệm là x1=π3;x2=πx1=π3;x2=π
So sánh bốn giá trị : f(0) = 0; f(π3)=3√32;f(π)=0;f(3π2)=−2f(π3)=332;f(π)=0;f(3π2)=−2
Suy ra:
maxx∈[0,3π2]f(x)=f(π3)=3√32minx∈[0,3π2]f(x)=f(3π2)=−2
(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)
Câu 9 - Bài tập (SGK trang 147)
Giải các phương trình sau :
a) \(13^{2x+1}-13^x-12=0\)
b) \(\left(3^x+2^x\right)\left(3^x+3.2^x\right)=8.6^x\)
c) \(\log_{\sqrt{3}}\left(x-2\right).\log_5x=2.\log_3\left(x-2\right)\)
d) \(\log^2_2x-5\log_2x+6=0\)
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảia) Đặt t = 13x > 0 ta được phương trình:
13t2 – t – 12 = 0 ⇔ (t – 1)(13t + 12) = 0
⇔ t = 1 ⇔ 13x = 1 ⇔ x = 0
b)
Chia cả hai vế phương trình cho 9x ta được phương trình tương đương
(1+(23)x)(1+3.(23)x)=8.(23)x(1+(23)x)(1+3.(23)x)=8.(23)x
Đặt t=(23)xt=(23)x (t > 0) , ta được phương trình:
(1 + t)(1 + 3t) = 8t ⇔ 3t2 – 4t + 1 = 0 ⇔ t∈{13,1}t∈{13,1}
Với t=13t=13 ta được nghiệm x=log2313x=log2313
Với t = 1 ta được nghiệm x = 0
c) Điều kiện: x > 2
Vì nên phương trình đã cho tương đương với:
[log3(x−2)=0log5x=1⇔[x=3x=5[log3(x−2)=0log5x=1⇔[x=3x=5
d) Điều kiện: x > 0
log22x – 5log2x + 6 = 0
⇔(log2x – 2)(log2x – 3) = 0
⇔ x ∈ {4, 8}
(Trả lời bởi Nguyễn Bảo Trung)
Câu 10 - Bài tập (SGK trang 147)
Giải các bất phương trình sau :
a) \(\dfrac{2^x}{3^x-2^x}\le2\)
b) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\log_2\left(x^2-1\right)}>1\)
c) \(\log^2x+3\log x\ge4\)
d) \(\dfrac{1-\log_4x}{1+\log_2x}\le\dfrac{1}{4}\)
Thảo luận (3)Hướng dẫn giải
