Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Hướng dẫn giải

a) Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\), ta có \(OA = 6\), \(OB = 3\). Diện tích tam giác \(OAB\) là:

\({S_1} = \frac{{OA.OB}}{2} = \frac{{6.3}}{2} = 9\).

Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx}  = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 = 9 - 0 = 9\).

Như vậy \({S_1} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)

b) Tam giác \(CBM\) vuông tại \(M\), ta có \(MB = 2\), \(MC = 4\). Diện tích tam giác \(CBM\) là:

\({S_2} = \frac{{MB.MC}}{2} = \frac{{2.4}}{2} = 4\).

Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_3^5 {\left( {6 - 2x} \right)dx}  = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_3^5 = 5 - 9 =  - 4\).

Như vậy \({S_2} =  - \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \)

c) Ta có:

\(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_0^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx}  = \int\limits_0^3 {\left| {6 - 2x} \right|dx}  + \int\limits_3^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx}  = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx}  + \int\limits_3^5 {\left( {2x - 6} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 + \left. {\left( {{x^2} - 6x} \right)} \right|_3^5 = \left( {9 - 0} \right) + \left[ {\left( { - 5} \right) - \left( { - 9} \right)} \right] = 13\)

Như vậy \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = 13 = {S_1} + {S_2}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\) là \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} \)

Ta có \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(2x - {x^2} \ge 0\). Với \(x \in \left[ {2;3} \right]\) thì \(2x - {x^2} \le 0\).

Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx}  + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3 = \left( {\frac{4}{3} - 0} \right) + \left[ {0 - \left( { - \frac{4}{3}} \right)} \right] = \frac{8}{3}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \cos x - 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \) là \(S = \int\limits_0^\pi  {\left| {\cos x - 2} \right|dx} \).

Do \(\cos x - 2 < 0\) với \(\forall x \in \left[ {0;\pi } \right]\).

Do đó \(S = \int\limits_0^\pi  {\left( {2 - \cos x} \right)dx}  = \left. {\left( {2x - \sin x} \right)} \right|_0^\pi  = 2\pi  - 0 = 2\pi \).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)

Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(4x - {x^2} \ge 0\), do đó:

\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16}}{3}\)

b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).

Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(x \ge 0\), do đó:

\({S_2} = \int\limits_0^2 {xdx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2\)

Vậy diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{16}}{3} - 2 = \frac{{10}}{3}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\), \(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) là:

\(S = \int\limits_1^4 {\left| {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right|dx}  = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)

Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)

Do đó

\(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx}  + \int\limits_3^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx}  = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_3^4 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right|\)

\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4} \right| = \left| {\frac{{ - 9}}{2} - \frac{{ - 7}}{6}} \right| + \left| {\frac{{ - 8}}{3} - \frac{{ - 9}}{2}} \right| = \left| { - \frac{{10}}{3}} \right| + \left| {\frac{{11}}{6}} \right| = \frac{{31}}{6}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = 5x - {x^2}\), \(y = {x^2} - x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {5x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} - x} \right)} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left| {6x - 2{x^2}} \right|dx}  = 2\int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)

Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)

Do đó \(S = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2} \right| = \left| { - \frac{{10}}{3}} \right| = \frac{{10}}{3}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta ghép mặt cắt của cửa hầm vào mặt phẳng \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây. Diện tích của cửa hầm chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 6\).

Ta nhận thấy rằng parabol đi qua các điểm có toạ độ \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {6;0} \right)\) và \(\left( {3;6} \right)\) (trục đối xứng của parabol đi qua đỉnh), do đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{{.0}^2} + b.0 + c = 0}\\{a{{.6}^2} + b.6 + c = 0}\\{a{{.3}^2} + b.3 + c = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{36a + 6b + c = 0}\\{9a + 3b + c = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{2}{3}}\\{b = 4}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy phương trình của parabol là \(y =  - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\).

Ta thấy rằng với \(x \in \left[ {0;6} \right]\) thì parabol nằm trên trục hoành. Do đó, diện tích của cửa hầm, cũng chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y =  - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 6\) là:

\(S = \int\limits_0^6 {\left| { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right|dx}  = \int\limits_0^6 {\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{ - 2}}{9}{x^3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^6 = 24\)

Vậy diện tích của cửa hầm là 24 \({{\rm{m}}^2}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Do \(A'B'C'D'\) là hình vuông, nên \(S\left( x \right) = A'D{'^2}\)

Tam giác \(OAD\) có \(AD\parallel A'D'\) nên \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{A'D'}}{{AD}} \Rightarrow A'D' = \frac{{OA'.AD}}{{OA}} = \frac{{x.a}}{h}\)

Suy ra \(S\left( x \right) = A'D{'^2} = {\left( {\frac{{x.a}}{h}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}\)

b) Ta có: \(\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx}  = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\int\limits_0^h {{x^2}dx}  = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{h^3}}}{3} = \frac{{{a^2}h}}{3}\)

Thể tích khối chóp \(O.ABCD\) là \({V_{O.ABCD}} = \frac{1}{3}.{a^2}.h = \frac{{{a^2}h}}{3}\)

Như vậy \({V_{O.ABCD}} = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn trục \(Ox\) vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với \(Ox\) lần lượt tại \(x = 0\) và \(x = 4\)

Diện tích mặt nước ở chiều cao \(x\) là \(S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} } \right)^2} = 2 + \frac{{{x^2}}}{4}\)

Dung tích của bình là \(V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^4 {\left( {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} \right)dx}  = \left. {\left( {2x + \frac{{{x^3}}}{{12}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{40}}{3}\)

(Trả lời bởi datcoder)