Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=1+\dfrac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 15). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h (Hình 16).

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số y = e^x, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1.

b) Đồ thị của hàm số \(y=x+\dfrac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x³ – x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y=\dfrac{x^2+1}{x}\), y = – x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x³ + 1, y = 2 và hai đường thẳng x = −1, x = 2.

Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−2 ≤ x ≤ 2), mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° và độ dài một cạnh góc vuông là \(\sqrt{4-x^2}\) (dm) (Hình 17). Tính thể tích của vật thể.

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{4-x}\) (x ≤ 4), trục tung và trục hoành (Hình 18). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2) và C(2; 0) (Hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục Ox.