Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Hướng dẫn giải

Xét khối chóp đều \(O.ABCD\) có chiều cao \(OH = h\), độ dài cạnh đáy \(AB = a\)

Chọn trục \(Ox\) sao cho \(O\) trùng với đỉnh của khối chóp, mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(\) như hình vẽ.

Dựng một mặt phẳng cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\). Mặt phẳng đó cắt khối chóp \(O.ABCD\) với mặt cắt là hình vuông \(A'B'C'D'\).

Ta có \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OH'}}{{OH}} = \frac{x}{h} \Rightarrow B'C' = \frac{a}{h}x\).

Diện tích mặt cắt \(A'B'C'D'\) là \(S\left( x \right) = {\left( {\frac{a}{h}x} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}\).

Vậy thể tích khối chóp đều \(O.ABCD\) là \(V = \int\limits_0^h {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}} \right)dx}  = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{h^3}}}{3} = \frac{{{a^2}h}}{3}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)