Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 4\\\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) =  - 4\end{array} \right.\).

b) Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 6\).

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

c) Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = f\left( { - 1} \right) = 4\\f\left( { - 2} \right) = f\left( 1 \right) =  - 4\end{array} \right.\).

d) Nhận xét: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = f\left( { - 1} \right)\\\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = f\left( 1 \right)\end{array} \right.\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Nhận xét \(y' > 0{\rm{ }}\forall x \in D\).

Ta có bảng biến thiên:

 

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{2}\) khi \(x = 3\) và không có giá trị nhỏ nhất.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( 2 \right) = 4\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{4}{x}\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(4\) khi \(x = 2\)

b) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( 2 \right) =  - 15\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 15\) khi \(x = 2\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2\cos 2x - 2\).

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pi \).

Ta có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - \pi ,f\left( \pi  \right) =  - 2\pi ,f\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) =  - 3\pi \)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x - 2x\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 3\pi \) khi \(x = \frac{{3\pi }}{2}\) và có giá trị lớn nhất bằng \( - \pi \) khi \(x = \frac{\pi }{2}\) .

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định \(D = R\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{8x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}\)

Nhận xét \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 8x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 khi \(x = 0\)

b) Ta có: \(f'\left( x \right) = 1 + \frac{3}{{{x^2}}}\)

Nhận xét \(f'\left( x \right) > 0\forall x \in (0;3]\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 khi \(x = 3\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3x\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( { - 1} \right) =  - \frac{5}{2};f\left( 0 \right) = 0;f\left( 1 \right) =  - \frac{1}{2};f\left( 2 \right) = 2\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2}\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{ - 5}}{2}\) khi \(x =  - 1\) và có giá trị lớn nhất bằng \(2\) khi \(x = 2\) .

 

b) Ta có: \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 6{x^2} + 2x\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( { - 1} \right) = 5;f\left( 0 \right) = 1;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{{16}};f\left( 1 \right) = 1\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(1\) khi \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\) và có giá trị lớn nhất bằng \(5\) khi \(x =  - 1\) .

 

c) Ta có: \(f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( 2 \right) = {e^2};f\left( 0 \right) = 7;f\left( 3 \right) = {e^3};f\left( 1 \right) = 3e\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(7\) khi \(x = 0\) và có giá trị lớn nhất bằng \({e^3}\) khi \(x = 3\).

 

d) Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 2\sin 2x + 2\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}\).

Ta có \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - \pi ;f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 + \frac{\pi }{2};f\left( \pi  \right) = 2 + 2\pi \)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x + 2x + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - \pi \) khi \(x =  - \frac{\pi }{2}\) và có giá trị lớn nhất bằng \(2 + 2\pi \) khi \(x = \pi \)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ban đầu bình xăng có \(V\left( 0 \right) = 4\) lít xăng.

b) Sau khi bơm 30s, ta có \(V\left( {0,5} \right) = 41,5l\)

c) Ta có: \(V'\left( t \right) = 300\left( {2t - 3{t^2}} \right)\)

Nhận xét: \(V'\left( t \right)\)có đồ thị là một parabol nên tốc độ tăng thể tích đạt giá trị lớn nhất bằng 100 tại \(t = \frac{1}{3}s\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(V' = 2kRr - 3k{r^2}\).

Nhận xét \(V' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}r = 0\\r = \frac{{2R}}{3}\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 0;f\left( {\frac{{2R}}{3}} \right) = \frac{{4k{R^3}}}{{27}}\)

Vậy bán kính của khí quản khi ho bẳng \(\frac{2}{3}\) bán kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ không khí đi vào là lớn nhất.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Vận tốc tức thời của chất điểm theo t là: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 12t + 1\).

Để tìm vận tốc tức thời lớn nhất trong 5 giây đầu thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm v(t) trên đoạn [0;5].

\(v'(t) = 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Ta có: v(0) = 1; v(2) = 13; v(5) = -14.

Vậy chất điểm có vận tốc lớn nhất bằng 13 m/s tại thời điểm t = 2 trong 5 giây đầu tiên.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Do \(f'\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến và liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(f\left( 1 \right)\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)