Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định \(D = R\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{8x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}\)

Nhận xét \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 8x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 khi \(x = 0\)

b) Ta có: \(f'\left( x \right) = 1 + \frac{3}{{{x^2}}}\)

Nhận xét \(f'\left( x \right) > 0\forall x \in (0;3]\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 khi \(x = 3\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( 2 \right) = 4\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{4}{x}\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(4\) khi \(x = 2\)

b) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( 2 \right) =  - 15\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 15\) khi \(x = 2\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Nhận xét \(y' > 0{\rm{ }}\forall x \in D\).

Ta có bảng biến thiên:

 

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{2}\) khi \(x = 3\) và không có giá trị nhỏ nhất.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Do \(f'\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến và liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(f\left( 1 \right)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 4\\\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) =  - 4\end{array} \right.\).

b) Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 6\).

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

c) Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = f\left( { - 1} \right) = 4\\f\left( { - 2} \right) = f\left( 1 \right) =  - 4\end{array} \right.\).

d) Nhận xét: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = f\left( { - 1} \right)\\\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = f\left( 1 \right)\end{array} \right.\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \end{array} \right.\)

b) Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) là:

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi \(x = 2\) và không có giá trị lớn nhất.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Quan sát đồ thị Hình 8, ta thấy:

a) Điểm B(1; 3) thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất.

b) Điểm C(0; – 1) thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta thấy độ dài x (dm) của cạnh hình vuông bị cắt phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 3.

Từ giả thiết suy ra kích thước của khối hộp chữ nhật là x, 6 – 2x, 6 – 2x (dm).

Thể tích của khối hộp là V(x) = x(6 – 2x)² (dm²)    với 0 < x < 3.

Ta phải tìm x0 ∈ (0; 3) sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất.

Ta có V'(x) = (6 – 2x)² – 4x(6 – 2x) = (6 – 2x)(6 – 6x) = 12(3 – x)(1 – x).

Trên khoảng (0; 3), V'(x) = 0 khi x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số V'(x) như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (0; 3), hàm số V(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 16 tại x = 1.

Vậy để khối hộp tạo thành có thể tích lớn nhất thì x = 1 (dm).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(x \in \left[ { - 3;3} \right] \Rightarrow 0 \le {x^2} \le 9 \Rightarrow 0 \le 9 - {x^2} \le 9 \Rightarrow 0 \le \sqrt {9 - {x^2}}  \le 3\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow x = 0\\\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 3\end{array} \right.\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2\cos 2x - 2\).

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pi \).

Ta có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - \pi ,f\left( \pi  \right) =  - 2\pi ,f\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) =  - 3\pi \)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x - 2x\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 3\pi \) khi \(x = \frac{{3\pi }}{2}\) và có giá trị lớn nhất bằng \( - \pi \) khi \(x = \frac{\pi }{2}\) .

(Trả lời bởi datcoder)