Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3x\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( { - 1} \right) =  - \frac{5}{2};f\left( 0 \right) = 0;f\left( 1 \right) =  - \frac{1}{2};f\left( 2 \right) = 2\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2}\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{ - 5}}{2}\) khi \(x =  - 1\) và có giá trị lớn nhất bằng \(2\) khi \(x = 2\) .

 

b) Ta có: \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 6{x^2} + 2x\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( { - 1} \right) = 5;f\left( 0 \right) = 1;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{{16}};f\left( 1 \right) = 1\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(1\) khi \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\) và có giá trị lớn nhất bằng \(5\) khi \(x =  - 1\) .

 

c) Ta có: \(f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( 2 \right) = {e^2};f\left( 0 \right) = 7;f\left( 3 \right) = {e^3};f\left( 1 \right) = 3e\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(7\) khi \(x = 0\) và có giá trị lớn nhất bằng \({e^3}\) khi \(x = 3\).

 

d) Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 2\sin 2x + 2\).

Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}\).

Ta có \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - \pi ;f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 + \frac{\pi }{2};f\left( \pi  \right) = 2 + 2\pi \)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x + 2x + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - \pi \) khi \(x =  - \frac{\pi }{2}\) và có giá trị lớn nhất bằng \(2 + 2\pi \) khi \(x = \pi \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vận tốc tức thời của chất điểm theo t là: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 12t + 1\).

Để tìm vận tốc tức thời lớn nhất trong 5 giây đầu thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm v(t) trên đoạn [0;5].

\(v'(t) = 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Ta có: v(0) = 1; v(2) = 13; v(5) = -14.

Vậy chất điểm có vận tốc lớn nhất bằng 13 m/s tại thời điểm t = 2 trong 5 giây đầu tiên.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ban đầu bình xăng có \(V\left( 0 \right) = 4\) lít xăng.

b) Sau khi bơm 30s, ta có \(V\left( {0,5} \right) = 41,5l\)

c) Ta có: \(V'\left( t \right) = 300\left( {2t - 3{t^2}} \right)\)

Nhận xét: \(V'\left( t \right)\)có đồ thị là một parabol nên tốc độ tăng thể tích đạt giá trị lớn nhất bằng 100 tại \(t = \frac{1}{3}s\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(V' = 2kRr - 3k{r^2}\).

Nhận xét \(V' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}r = 0\\r = \frac{{2R}}{3}\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 0;f\left( {\frac{{2R}}{3}} \right) = \frac{{4k{R^3}}}{{27}}\)

Vậy bán kính của khí quản khi ho bẳng \(\frac{2}{3}\) bán kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ không khí đi vào là lớn nhất.

(Trả lời bởi datcoder)