Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD'} \)

\(|\overrightarrow a | = |\overrightarrow {BD'} | = \sqrt {B{D^2} + D{D^2}}  = \sqrt {B{A^2} + B{C^2} + D{D^2}}  = \sqrt {1 + 1 + 1}  = \sqrt 3 \)

b) \(\overrightarrow b  = \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {C'A}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {C'A}  = \overrightarrow {CC'} \)

\(|\overrightarrow b | = |\overrightarrow {CC'} | = 1\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(|\overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}} | = \sqrt {{F_2}^2 + {F_3}^2}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\)

Độ lớn hợp lực của ba lực là: \(|\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}} | = \sqrt {{F_1}^2 + {5^2}}  = \sqrt {{2^2} + {5^2}}  = \sqrt {29} N\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \).

b) \(\overrightarrow {AC'}  = 2\overrightarrow {AO} \).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm AA’.

Ta có: \(\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AM} \)

Hay \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow b  - \overrightarrow a  + \frac{1}{2}\overrightarrow c \).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: P = mg = 5.10 = 50N.

b) Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ trên.

Vì đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow P  + \overrightarrow {{T_1}}  + \overrightarrow {{T_2}}  + \overrightarrow {{T_3}}  + \overrightarrow {{T_4}}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow P  + \overrightarrow {P'}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow P = P'\).

Có \(\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{T_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{T_4}} } \right| = \left| {\overrightarrow T } \right|\). Từ hình vẽ ta có:

\(P' = 4T\cos {30^o} \Leftrightarrow T = \frac{{P'}}{{4\cos {{30}^o}}} = \frac{{50}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}\) (N).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Trong mặt phẳng, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).

b) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} )\) = góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} )\) = \(90^\circ \) (góc giữa 2 đường chéo của hình vuông)

\((\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} ) = (\overrightarrow {B'B} ,\overrightarrow {CB'} ) = {180^o} - (\overrightarrow {B'B} ,\overrightarrow {B'C} ) = {180^o} - {45^o} = {135^o}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Góc \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\) = \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = \(AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 2.3.\cos 60^\circ  = 3\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$.

Do đó $\left(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}, \overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}\right)=\widehat{B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}}=45^{\circ}$ (do $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ là hình vuông nên $A^{\prime} C^{\prime}$ là phân giác của góc $\left.\widehat{D^{\prime} A^{\prime} B^{\prime}}\right)$.

Vì $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ là hình vuông cạnh bằng 1 nên $A^{\prime} C^{\prime}=\sqrt{2}$.
Ta có $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}=|\overrightarrow{A B}| \cdot\left|\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}\right| \cdot \cos \left(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}\right)=1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 45^{\circ}=1$.
Vi ACC'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{C C^{\prime}}=\overrightarrow{A A^{\prime}}$.
Do đó $\left(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C C^{\prime}}\right)=\left(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A A^{\prime}}\right)=\widehat{B A A^{\prime}}=90^{\circ}$.
Do đó $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{C C^{\prime}}$. Suy ra $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C C^{\prime}}=0$.
b) $\left(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A C^{\prime}}\right)=\widehat{C A C^{\prime}}$.

Ta có $A C^{\prime}$ là đường chéo của hình lập phương cạnh bằng 1 nên $A C^{\prime}=\sqrt{3}$.
AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh bằng 1 nên $A C=\sqrt{2}$.
Xét DACC' có $\cos \widehat{C A C^{\prime}}=\frac{A C^2+A C^2-C C^{\prime 2}}{2 \cdot A C \cdot A C^{\prime}}=\frac{2+3-1}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \widehat{C A C^{\prime}} \approx 35^{\circ} 16^{\prime}$
$\operatorname{Vậy}\left(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A C^{\prime}}\right) \approx 35^{\circ} 16^{\prime}$.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: \(P = mg  = 25.9,8 = 245N\)

b) Công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d  = Pd\cos 60^\circ  = 245.3,5.\frac{1}{2} = 428,75J\)

(Trả lời bởi datcoder)