Question

xác định dạng của tam giác ABC biết \(tan\frac{B-C}{2}=\frac{b-c}{b+c}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng tính chất: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\) ta đặt:
$a=t\sin A; b=t\sin B; c=t\sin C$

Khi đó:

\(\frac{b-c}{b+c}=\frac{\sin B-\sin C}{\sin B+\sin C}=\frac{2\sin \frac{B-C}{2}\cos \frac{B+C}{2}}{2\sin \frac{B+C}{2}.\cos \frac{B-C}{2}}=\tan \frac{B-C}{2}.\tan \frac{B+C}{2}=\frac{b-c}{b+c}.\tan \frac{B+C}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=0\) hoặc $\tan \frac{B+C}{2}=1$
Nếu $\frac{b-c}{b+c}=0\Rightarrow b=c\Rightarrow \triangle ABC$ cân tại $A$

Nếu $\tan \frac{B+C}{2}=1\Rightarrow \frac{B+C}{2}=45^0\Rightarrow B+C=90^0$

$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$.