Question

với mọi số tự nhiên n>1 CMR \(\frac{1}{2}< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{4}\)

Answer 1

Lời giải:

Chứng minh vế thứ nhất:

Với mọi số tự nhiên $i< n$ ta có: $\frac{1}{n+i}> \frac{1}{n+n}$. Thay $i=1,2,...$ ta có:

$\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+n}$

$\frac{1}{n+2}>\frac{1}{n+n}$

.....

Do đó: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}>\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+n}+...+\frac{1}{n+n}=\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}$

(đpcm)

Vế thứ hai có vẻ không đúng lắm, vì $n$ càng tăng thì giá trị của tổng càng tăng theo nên mình nghĩ khi $n$ tiến tới vô cực thì tổng trên cũng vượt khỏi $\frac{3}{4}$