n2 + n + 2 = n . n + n + 2 = n . (n + 1) + 2
Ta thấy n . (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng là 0 hoặc 2 hoặc 6
=> n . (n + 1) + 2 có tận cùng là 2; 4; 8 không chia hết cho 5 vì số chia hết cho 5 có tận cùng là 0 hoặc 5
Ta có: \(n^2+n+2=n\left(n+1\right)+2\)
+) Xét n chẵn \(\Rightarrow n+1\) lẻ
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\) chẵn
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+2\) chẵn
Do số chẵn không chia hết cho 5
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+2⋮̸5\) (1)
+) Xét n lẻ \(\Rightarrow n+1\) chẵn
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\) chẵn
Do số chẵn không chia hết cho 5
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+2⋮̸5\) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrowđpcm\)
Nếu cái dấu kia là cái dấu k chia hết thì tui làm như sau:
\(n^2+n+2=n\left(n+1\right)+2\)
Có: \(n\) và \(n+1\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích \(n\left(n+1\right)\) sẽ có tận cùng bằng \(0,2,6\).
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+2\) sẽ có tận cùng bằng \(2,4,8\) hay \(n\left(n+1\right)+2\) không chia hết cho \(5\).
Đặt A=\(n^2+n+2=n\left(n+1\right)+2\)
Với n=5k \(\left(k\in N\right)\)
\(\Rightarrow A=5k\left(5k+1\right)+2=25k^2+5k+2\) chia 5 dư 2
Với n=5k+1
\(\Rightarrow A=\left(5k+1\right)\left(5k+2\right)+2=25k^2+15k+4\) chia 5 dư 4
Với n=5k+2
\(\Rightarrow A=\left(5k+2\right)\left(5k+3\right)+2=25k^2+25k+8\) chia 5 dư 3
Với n=5k+4
\(\Rightarrow A=\left(5k+3\right)\left(5k+4\right)+2=25k^2+35k+14\) chia 5 dư 4
Vậy với mọi \(n\in N\) thì \(A⋮̸5\) ( đpcm )