a) Xét ΔBAC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của BC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác) (1)
Xét ΔADC có
Q là trung điểm của AD(gt)
P là trung điểm của DC(gt)
Do đó: QP là đường trung bình của ΔDAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒QP//AC và \(QP=\frac{AC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra QP//MN và QP=MN
Xét tứ giác MNPQ có QP//MN(cmt) và QM=MN(cmt)
nên MNPQ là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: BD⊥AC(gt)
MN//AC(cmt)
Do đo: BD⊥MN(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)(3)
Xét ΔADB có
Q là trung điểm của AD(gt)
M là trung điểm của AB(gt)
Do đó: QM là đường trung bình của ΔDAB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒QM//BD và \(QM=\frac{BD}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(4)
Từ (3) và (4) suy ra QM⊥MN(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
⇒\(\widehat{QMN}=90độ\)
Xét hình bình hành MNPQ có \(\widehat{QMN}=90độ\)(cmt)
nên MNPQ là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b)Để hình chữ nhật MNPQ là hình vuông thì MN=QM
⇒\(\frac{BD}{2}=\frac{AC}{2}\Leftrightarrow BD=AC\)
Vậy: Khi BD=AC thì tứ giác MNPQ là hình vuông
