Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là các tiếp điểm). H là giao điểm của MO và AB. Kẻ đường kính BC của đường tròn (O;R). MC cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là N (N khác C). Q là trung điểm của đoạn NC. 1) Cm: 4 điểm M,A,Q,O cùng nằm trên 1 đường tròn (CM theo 2 tam giác nội tiếp). 2) Cm: MA^2=MN.MC và góc MHN = góc MCO. 3) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O;R) cắt tia BA tại D; tia DI cắt đoạn OC tại K; tia DO cắt đoạn AC ở E. Cm: \(\dfrac{AN}{AC}\)=\(\sqrt{\dfrac{MN}{MC}}\) và góc BOD = góc EIK
1: Ta có: ΔOCN cân tại O
mà OQ là đường trung tuyến
nên OQ\(\perp\)CN
Ta có: ΔOQM vuông tại Q
=>O,Q,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM(1)
Ta có: ΔOAM vuông tại A
=>O,A,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM(2)
Từ (1),(2) suy ra O,Q,M,A cùng thuộc một đường tròn
2: Xét (O) có
\(\widehat{MAN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AN
\(\widehat{NCA}\) là góc nội tiếp chắn cung NA
Do đó: \(\widehat{MAN}=\widehat{NCA}\)
Xét ΔMAN và ΔMCA có
\(\widehat{MAN}=\widehat{MCA}\)
\(\widehat{AMN}\) chung
Do đó: ΔMAN~ΔMCA
=>\(\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MN}{MA}\)
=>\(MA^2=MN\cdot MC\left(3\right)\)
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(4)
ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(5)
Từ (4) và (5) suy ra OM là đường trung trực của AB
=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(6\right)\)
Từ (3),(6) suy ra \(MN\cdot MC=MH\cdot MO\)
=>\(\dfrac{MN}{MO}=\dfrac{MH}{MC}\)
Xét ΔMNH và ΔMOC có
\(\dfrac{MN}{MO}=\dfrac{MH}{MC}\)
\(\widehat{NMH}\) chung
Do đó: ΔMNH~ΔMOC
=>\(\widehat{MHN}=\widehat{MCO}\)
