Question

Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến MA,MB(A,B là các tiếp điểm),MO cắt AB tại H.Kẻ đường kính AC

a.Chứng minh:MO // BC

b.MC cắt đường tròn tại D.Chứng minh MH.MO = MC.MD

c.Đường thẳng kẻ qua O vuông góc với BC cắt MB tại N.Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d.MO cắt đường tròn tại I.Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB

Answer 1

a: Xét (O) có

MA là tiếp tuyến

MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

hay M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

hay OM⊥AB(3)

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại B

=>AB⊥BC(4)

Từ (3) và (4) suy ra MO//BC

b: Xét (O) có

ΔADC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔADC vuông tại D

Xét ΔMAC vuông tại A có AD là đường cao

nên \(MD\cdot MC=MA^2\left(5\right)\)

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) suy ra \(MD\cdot MC=MH\cdot MO\)

c: Gọi E là giao điểm của ON và CB

=>ON⊥BC tại E

Xét (O) có

OE là một phần đường kính

BC là dây

OE⊥BC tại E

Do đó: E là trung điểm của BC

Xét ΔNCB có

NE là đường cao

NE là đường trung tuyến

Do đó: ΔNCB cân tại N

Xét ΔOCN và ΔOBN có

OC=OB

NC=NB

ON chung

DO đó: ΔOCN=ΔOBN

Suy ra: \(\widehat{OCN}=\widehat{OBN}=90^0\)

hay NC là tiếp tuyến của (O)