Question

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN không đi qua tâm O. Gọi I là trung điểm MN.
a) Chứng minh AB2 = AM. AN
b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp .
c) Gọi D là giao điểm của BC và AI. Chứng minh \(\dfrac{IB}{IC}\) =\(\dfrac{DB}{DC}\)

Answer 1

a) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ANB, ta có:

góc A : góc chung

góc ABM = góc ANB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=> \(\Delta ABM\) đồng dạng \(\Delta ANB\)

=> \(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\)

=> AB² = AM.AN (đpcm)

b)Xét tứ giác ABIO

Kẻ đường kính HK đi qua trung điểm I

=> HK \(\perp\) MN tại I hay góc AIO = 90⁰

góc ABO = 90⁰ (AB là tuyến tiếp của đường tròn (O))

góc AIO và góc ABO cùng nhìn cạnh OA dưới 1 góc bằng nhau(=90⁰)

=> Tứ giác ABIO nội tiếp