Question

trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trong (C) \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) và D(1,1). Đường thẳng( \(\Delta\)) đi qu và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất có phương trình dạng x+by+c=0 ( b, c thuộc Z).Tính b+2c

Answer 1

(C) là đường tròn tâm \(I\left(2;-3\right)\) bán kính \(R=5\)

\(\overrightarrow{DI}=\left(1;-4\right)\Rightarrow ID=\sqrt{17}< R\Rightarrow\) D là 1 điểm thuộc miền trong đường tròn

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên \(\Delta\Rightarrow\) H là trung điểm AB

Theo định lý Pitago: \(AH^2=IA^2-IH^2=R^2-IH^2\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}AB^2=25-IH^2\)

\(\Rightarrow AB\) đạt min khi và chỉ khi IH đạt max

Mặt khác trong tam giác vuông IDH, theo định lý đường xiên-đường vuông góc ta luôn có:

\(IH\le ID\Rightarrow IH_{max}=ID\) khi H trùng D \(\Leftrightarrow\Delta\perp ID\)

\(\Rightarrow\) đường thẳng \(\Delta\) nhận (1;-4) là 1 vtpt

Phương trình \(\Delta\):

\(1\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-4y+3=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-4\\c=3\end{matrix}\right.\)