Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y= nx + 1 và Parabol (P): y=2\(x^2\)

- Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt M(\(x_1,y_1\)) và N(\(x_2,y_2\)). hãy tính giá trị của biểu thức S= \(x_1x_2+y_1y_2\)

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(2x^2-nx-1=0\)

\(ac=-2< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm pb trái dấu \(\Rightarrow\) d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{n}{2}\\x_1x_2=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Do M, N thuộc (P) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=2x^2_1\\y_2=2x_2^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y_1y_2=4\left(x_1x_2\right)^2\)

\(S=x_1x_2+y_1y_2=\frac{-1}{2}+4\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{-1}{2}+1=\frac{1}{2}\)