\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left(x+2\right)^n\left(x^2+2\right)^n\)
SHTQ \(C_n^k.x^{n-k}.2^k.C_n^i.\left(x^2\right)^{n-i}.2^i=C_n^k.C_n^i.2^{i+k}.x^{3n-k-2i}\)
\(x^{3n-3}\Leftrightarrow3n-3=3n-k-2i\Leftrightarrow k+2i=3\)
mà k,i\(\in N\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=3;i=0\\k=1;i=1\end{matrix}\right.\)
mà hệ số \(=?????\)
\(\Leftrightarrow C_n^1.C_n^1.2^{1+1}+C^3_n.C_n^0.2^3=??????\)
bấm máy giải tìm đc n
\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left[x^2\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\right]^n=\left(1+x^2\right)^n.\left(2+x\right)^n\)
Áp dụng khai triển nhị thức Newton:
\(\left(1+x^2\right)^n.\left(2+x\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^{2n-2k}.\sum\limits^n_{l=0}C_n^l.2^l.x^{n-l}=\sum\limits^n_{k=0}\sum\limits^n_{l=0}C_n^k.C_n^l.2^l.x^{3n-2k-l}\)
\(3n-3=3n-2k-l\Rightarrow2k+l=3\Rightarrow\left(k;l\right)=\left\{\left(0;3\right),\left(1;1\right)\right\}\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^{3n-3}\) là:
\(C_n^0.C_n^3.2^3+C_n^1.C_n^1.2^1=\dfrac{18683.n}{3}\Leftrightarrow\dfrac{n!.8}{\left(n-3\right)!3!}+2n^2=\dfrac{18683.n}{3}\)
\(\Leftrightarrow4n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n^2-18683n=0\)
\(\Leftrightarrow4n^3-6n^2-18675n=0\)
\(\Rightarrow n=0\) (loại) \(\Rightarrow\) Bạn chép đề sai
Sau khi thử lại, nếu hệ số đã cho không phải \(\dfrac{18683n}{3}\) mà là \(\dfrac{18638n}{3}\) (đổi thứ tự hàng chục và đơn vị ở tử số), thì pt trên trở thành:
\(4n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n^2-18638n=0\)
\(\Leftrightarrow4n^3-6n-18630n=0\)
\(\Rightarrow n=0\) (loại) hoặc \(n=69\) (nhận), ko cần quan tâm nghiệm ko nguyên.
Kết luận: bạn ghi sai số liệu.
