Chương 4: GIỚI HẠN

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Linh Trần

Tính giới hạn của dãy số \(u_n=q+2q^2+3q^3+...+nq^n\) với \(\left|q\right|< 1\)

Hoàng Tử Hà
30 tháng 1 2021 lúc 19:15

Nếu ở hệ số ở mũ 2 là 1 có khi xài đạo hàm chút là ra tổng quát, còn cái này thì...khó :D

Gọi q là k đi, máy tui kẹt chữ q, xài On-screen keyboard mệt lắm

\(u_n=k+2k^2+3k^3+...+nk^n\)

Nhận thấy nếu giờ chia k cho un thì sẽ có \(1+2k+3k+...+nk^{n-1}\), ta đã đưa về dạng tổng quát có thể đạo hàm được, sau đó chỉ cần nhân k là ra un

\(\dfrac{u_n}{k}=1+2k+3k^2+...+nk^{n-1}\)

\(f\left(x\right)=1+k+k^2+...+k^n\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\q=k\end{matrix}\right.\Rightarrow f\left(x\right)=1.\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}=\dfrac{k^{n+1}-1}{k-1}\)

Dao ham 2 ve: 

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=1+2k+3k^2+...+nk^{n-1}=\dfrac{\left(k^{n+1}-1\right)'\left(k-1\right)-\left(k-1\right)'\left(k^{n+1}-1\right)}{\left(k-1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{\left(n+1\right)k^n\left(k-1\right)-k^{n+1}+1}{\left(k-1\right)^2}\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{k^n\left[\left(n+1\right)\left(k-1\right)-k\right]+1}{\left(k-1\right)^2}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{u_n}{k}\Rightarrow u_n=f'\left(x\right).k=\dfrac{k^{n+1}\left[\left(n+1\right)\left(k-1\right)-k\right]+k}{\left(k-1\right)^2}\)

\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\dfrac{k^{n+1}\left[\left(n+1\right)\left(k-1\right)-k\right]+k}{\left(k-1\right)^2}=\lim\limits\dfrac{k^{n+1}\left[\left(n+1\right)\left(k-1\right)-k\right]}{\left(k-1\right)^2}+\dfrac{k}{\left(k-1\right)^2}\)

\(\left|k\right|< 1\Rightarrow lim\left(k^{n+1}\right)=0\)

\(\Rightarrow\lim\limits\left(u_n\right)=\dfrac{k}{\left(k-1\right)^2}\)

P/s: Một cách làm rất mới mẻ, có thể tổng quát cho nhiều bài toàn sinh ra từ dãy số vừa rồi :D

Akai Haruma
30 tháng 1 2021 lúc 19:52

Lời giải:

\(u_n=q+2q^2+3q^3+...+nq^n\)

\(qu_n=q^2+2q^3+3a^4+...+nq^{n+1}\)

\(\Rightarrow u_n(1-q)=q+q^2+q^3+...+q^n-nq^{n+1}\)

\(\Leftrightarrow u_n(1-q)=q.\frac{q^n-1}{q-1}-nq^{n+1}\)

\(\Leftrightarrow u_n=q.\frac{1-q^n}{(1-q)^2}+\frac{nq^{n+1}}{q-1}=\frac{q-q^{n+1}}{(1-q)^2}+\frac{nq^{n+1}}{q-1}\)

Vì $|q|< 1$ nên $\lim\limits q^{n+1}=0$ nên $\lim\limits u_n=\frac{q}{(1-q)^2}$

 

 


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Tô Cường
Xem chi tiết
Alice
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
你混過 vulnerable 他 難...
Xem chi tiết
CHANNANGAMI
Xem chi tiết
An Khanh Nguyên
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết