\(\frac{1}{cos\left(ka\right).cos\left[\left(k+1\right)a\right]}=\frac{1}{sina}.\frac{sina}{cos\left(ka\right).cos\left[\left(k+1\right)a\right]}=\frac{1}{sina}.\frac{sin\left[\left(k+1\right)a-ka\right]}{cos\left(ka\right).cos\left[\left(k+1\right)a\right]}\)
\(=\frac{1}{sina}.\frac{sin\left[\left(k+1\right)a\right].cos\left(ka\right)-cos\left[\left(k+1\right)a\right].sin\left(ka\right)}{cos\left(ka\right).cos\left[\left(k+1\right)a\right]}\)
\(=\frac{1}{sina}\left[\frac{sin\left[\left(k+1\right)a\right]}{cos\left[\left(k+1\right)a\right]}-\frac{sin\left(ka\right)}{cos\left(ka\right)}\right]=\frac{1}{sina}\left[tan\left(k+1\right)a-tan\left(ka\right)\right]\)
Vậy \(\frac{1}{cos\left(ka\right).cos\left[\left(k+1\right)a\right]}=\frac{1}{sina}\left[tan\left(k+1\right)a-tan\left(ka\right)\right]\)
Cho \(k\) chạy từ \(1\rightarrow n\) và cộng vế với vế ta được:
\(S=\frac{1}{sina}\left[tan\left(n+1\right)a-tana\right]\)
Thay \(a=\frac{\pi}{n+1}\) vào ta được:
\(S=\frac{1}{sina}\left[tan\left(n+1\right).\frac{\pi}{n+1}-tana\right]\)
\(S=\frac{1}{sina}\left(tan\pi-tana\right)=-\frac{tana}{sina}=-\frac{1}{cosa}=-\frac{1}{cos\left(\frac{\pi}{n+1}\right)}\)
Đến đây bó tay, how to tính tiếp :(((((
