Dự đoán khi \(x=y=z=1\) thì pt đúng:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=xyz\left(=1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)
Thay vào pt ta có: \(3x=x^3\Leftrightarrow3x-x^3=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(3-x^2\right)=0\)\(\Leftrightarrow x=y=z=0\left(x,y,z\in Z\right)\)
P/s: Mới xét các trường hợp bằng nhau còn khác nhau chưa nghĩ ra
Không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\)
\(\Rightarrow xyz=x+y+z\le3x\)
\(\Rightarrow yz\le3\)
\(yz=\left\{1,2,3\right\}\)
Với \(yz=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\z=1\end{matrix}\right.\) thế vô phương trình ban đầu được.
\(x=2+x\left(l\right)\)
Với \(yz=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\z=1\end{matrix}\right.\) thế ngược lại phương trình đầu được
\(2x=1+2+x\)
\(\Leftrightarrow x=3\)(nhận)
Với \(yz=3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\z=1\end{matrix}\right.\) thế ngược lại phương trình đầu ta được
\(3x=1+3+x\)
\(\Leftrightarrow x=2\left(l\right)\)(loại vì ta đã giả sử x lớn nhất trong 3 số)
Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên ta có thể hoán đổi vị trí của x,y,z
Vậy ta có bộ x,y,z cần tìm là: \(\left(x,y,z\right)\left\{1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1\right\}\)
Nếu còn cần bài giải thì mình có thế giúp
